Ροπή αδράνειας: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
Προσθήκη δυο ακόμα περιπτώσεων ροπής αδράνειας |
|||
Γραμμή 54:
:<math> I=\frac{2}{5}MR^2 </math>
=== Σφαιρικό Κέλυφος ===
Έστω λεπτό σφαιρικό κέλυφος αμελητέου πάχους μάζας Μ και ακτίνας R, με σταθερή επιφανειακή πυκνότητα σ=M/4πR<sup>2</sup>. Αν χρησιμοποιήσουμε σφαιρικές συντεταγμένες, τότε το ολοκλήρωμα της ροπής αδράνειας για άξονα που διέρχεται από άξονα που διέρχεται από το κέντρο του κελύφους μας δίνει:
:<math> I=\int r_{\perp}^2 dm=\sigma\int (R\sin{\theta})^2 dA, </math>
όπου Rsinθ η απόσταση κάθε σημείου της επιφάνειας της σφαίρας από τον άξονα z, τον οποίο θεωρούμε ως άξονα περιστροφής. Το στοιχείο εμβαδού dA στις σφαιρικές συντεταγμένες ισούται με R<sup>2</sup>sinθdφdθ, συνεπώς το παραπάνω ολοκλήρωμα μετατρέπεται στο εξής διπλό (ως προς τις συντεταγμένες φ και θ):
:<math> I=\sigma R^4\int_{0}^{2\pi}d\phi\int_{0}^{\pi} sin^3{\theta} d\theta=\sigma R^4 (2\pi)\left(\frac{4}{3}\right)=\frac{8\pi\sigma R^4}{3}\ \xrightarrow{M=4\pi R^2\sigma}\ I=\frac{2}{3}MR^2 </math>
=== Συμπαγής Κύλινδρος ===
Έστω συμπαγής κύλινδρος ακτίνας βάσης R, μάζας Μ και μήκους l, με σταθερή χωρική πυκνότητα μάζας ρ=Μ/πR<sup>2</sup>l. Για να υπολογίσουμε τη ροπή αδράνειας του συμπαγούς κυλίνδρου, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε κυλινδρικές συντεταγμένες (r→ακτινική απόσταση από τον άξονα συμμετρίας, φ→αζιμουθιακή/πολική γωνία, z→συνιστώσα σημείου στον άξονα συμμετρίας). Η βασική περίπτωση που μας ενδιαφέρει είναι εκείνη όπου ο άξονας περιστροφής ταυτίζεται με τον άξονα συμμετρίας του κυλίνδρου.
Για την περίπτωση αυτή λοιπόν, μπορούμε να ταυτίσουμε τον άξονα περιστροφής με τον άξονα z και την αρχή των αξόνων με μια από τις δυο βάσεις του κυλίνδρου. Η ροπή αδράνειας θα είναι λοιπόν:
<math> I=\int r^2_{\perp}dm=\rho\int r^2dV=\rho\int_{0}^{2\pi}d\phi\int_{0}^{l}dz\int_{0}^{R}r^3dr=\rho(2\pi)(l)\left(\frac{R^4}{4}\right)=\frac{\pi\rho lR^4}{2}\ \xrightarrow{M=\rho\pi R^2l}\ I=\frac{1}{2}MR^2 </math>
== Πηγές ==
| |||