Βαρυτικό πεδίο: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Στη [[Γενική σχετικότητα]], το βαρυτικό πεδίο ως το αποτέλεσμα των πεδιακών εξισώσεων του [[Άλμπερτ Αϊνστάιν|Αϊνστάιν]]. Αυτές οι εξισώσεις εξαρτώνται από την κατανομή ύλης και ενέργειας σε μια περιοχή του χώρου, αντίθετα με την Νευτώνεια βαρύτητα, που εξαρτάται μόνο από την κατανομή ύλης. Τα πεδία αυτά καθαυτά στη γενική σχετικότητα αντιπροσωπεύουν την [[Γενική σχετικότητα|καμπύλωση του χωροχρόνου]]. Σύμφωνα με τη γενική σχετικότητα, το να βρίσκεται ένα αντικείμενο σε μια καμπυλωμένη περιοχή του χώρου είναι ισοδύναμο με το να επιταχύνει σύμφωνα με την κλίση του πεδίου. Σύμφωνα με τον [[Νόμοι κίνησης του Νεύτωνα|δεύτερο νόμο του Νεύτωνα]] αυτό έχει σαν αποτέλεσμα να δρα πάνω στο αντικείμενο μια [[δύναμη αδράνειας]] αν θεωρηθεί ακίνητο ως προς το πεδίο. Αυτός είναι και ο λόγος που ένα άτομο αισθάνεται να έλκεται από τη Γη εξ αιτίας της δύναμης της βαρύτητας ενώ στέκεται ακίνητος στην επιφάνεια της Γης. Γενικά τα βαρυτικά πεδία που προβλέπει η γενική σχετικότητα ταυτίζονται απόλυτα στο όριο των ασθενών βαρυτικών πεδίων με αυτά που προβλέπει η κλασική μηχανική, αλλά υπάρχουν μερικές σημαντικές διαφορές που τα διακρίνουν όταν τα βαρυτικά πεδία γίνονται ισχυρά, όπως είναι η καμπύλωση του φωτός και τα βαρυτικά κύματα.

 

 

=== Ένταση ===

''Ένταση'', '''Ε''', σε ένα σημείο βαρυτικού πεδίου, ονομάζουμε το φυσικό διανυσματικό μέγεθος που έχει μέτρο ίσο με το πηλίκο της δύναμης που ασκείται σε ένα σώμα μάζας m που βρίσκεται σε απόσταση r από το κέντρο της πηγής βαρύτητας προς τη μάζα Μ του σώματος που δημιουργεί το βαρυτικό πεδίο, και φορά αντίθετη προς το μοναδιαίο διάνυσμα <math>\hat{r}</math> που έχει φορά από το δεύτερο σώμα στο πρώτο. Μαθηματικά,

 

 

όπου G=6.6742×10^-11 (SI) η σταθερά της βαρύτητας σε μονάδες διεθνούς συστήματος. Είναι επίσης φανερό ότι το μέτρο της έντασης του βαρυτικού πεδίου έχει μονάδες επιτάχυνσης (δύναμη ανά μονάδα μάζας), και θα εξαρτάται τόσο από τη μάζα Μ του σώματος που δημιουργεί το βαρυτικό πεδίο, όσο και από την απόσταση r από τη θέση αυτού. Η συνολική δύναμη, '''F''', που θα ασκηθεί στο σώμα μάζας m όταν αυτό τοποθετηθεί σε απόσταση r από την "πηγή" του βαρυτικού πεδίου, θα ισούται προφανώς με το γινόμενο της έντασης του βαρυτικού πεδίου επί τη μάζα m του σώματος. Δηλαδή,

που ταυτίζεται με τη γνωστή δύναμη της βαρύτητας κατά Νεύτωνα.

 

Το δυναμικό, Φ, του βαρυτικού πεδίου (επίσης γνωστό και ως ''Νευτώνειο Δυναμικό'') είναι ένα μονόμετρο μέγεθος που ορίζεται ως ''μείον'' το έργο ανά μονάδα μάζας που εκτελεί η δύναμη της βαρύτητας από μια θέση αναφοράς r₀ σε μια απόσταση r από την πηγή του βαρυτικού πεδίου. Μαθηματικά, ο ορισμός του βαρυτικού δυναμικού ταυτίζεται με το εξής επικαμπύλιο ολοκλήρωμα:

 

Όπως είναι φανερό, η εκλογή του απείρου ως σημείο αναφοράς οδηγεί αμέσως στο αποτέλεσμα ότι το βαρυτικό δυναμικό θα είναι παντού ''αρνητικό''.

 

[[Αρχείο:Gf2.png|350px|thumb|Η περίπτωση της συνεχούς κατανομής μάζας - θέσεις ως προς τυχαία επιλεγμένο σύστημα αναφοράς.|right]]

 

Η εξίσωση ∇²Φ=4πGρ είναι μία ''εξίσωση Πουασόν'', η επίλυση της οποίας εξαρτάται από τη μορφή της πυκνότητας ρ και τις αρχικές/συνοριακές συνθήκες του προβλήματος.

 

Ποια είναι όμως η φυσική σημασία του βαρυτικού δυναμικού και για ποιο λόγο να ορίσει κάποιος μία τέτοια περίπλοκη ποσότητα; Αρχικά, επενθυμίζεται ότι το βαρυτικό δυναμικό ορίστηκε μαθηματικά ως

 

Όπως αναφέρθηκε και νωρίτερα, η σχέση '''Ε'''=-'''∇'''Φ μας δίνει τη διανυσματική μορφή του βαρυτικού πεδίου μιας κατανομής μάζας αν γνωρίζουμε το αντίστοιχο δυναμικό που προκαλεί αυτή. Πολλές φορές ο προσδιορισμός κάθε συνιστώσας του βαρυτικού πεδίου βάσει των εξισώσεων κίνησης του Νεύτωνα είναι μια αρκετά πολύπλοκη (αν όχι αδύνατη) διαδικασία, ειδικά για κατανομές μάζας που δεν έχουν κάποια συμμετρία. Σε τέτοιες περιπτώσεις, ενδέχεται η επίλυση της εξίσωσης ∇²Φ=4πGρ που θα υπακούει το δυναμικό να είναι πολύ ευκολότερη (ή τουλάχιστον δυνατόν να επιλυθεί αριθμητικά). Λύνοντας λοιπόν την εξίσωση Πουασόν, βρίσκουμε το δυναμικό σε κάθε σημείο του χώρου που μας ενδιαφέρει και, τέλος, παίρνουμε το ανάδελτα του δυναμικού για να βρούμε τις αντίστοιχες συνιστώσες του βαρυτικού πεδίου.

 

Το βαρυτικό δυναμικό '''''δεν''''' ταυτίζεται με τη βαρυτική δυναμική ενέργεια. Το βαρυτικό δυναμικό ορίζεται ως μείον το έργο ανά μονάδα μάζας που εκτελεί η βαρυτική δύναμη από ένα σημείο αναφοράς σε μια απόσταση r από την αρχή των αξόνων. Αντίθετα, η βαρυτική δυναμική ενέργεια, '''V''', ορίζεται ως

 

Είναι όμως φανερό ότι αν πολλαπλασιάσουμε την έκφραση του βαρυτικού δυναμικού αυτού με τη μάζα m του σώματος που κινείται σε τροχιά απόστασης r από την πηγή βαρύτητας, θα βρούμε τη γνωστή έκραση για τη βαρυτική δυναμική ενέργεια.

 

Από νωρίς η ιδέα της δράσης μίας αόρατης δύναμης εξ αποστάσεως προβλημάτιζε τους φυσικούς, με αποτέλεσμα να αναπτυχθεί η παραπάνω εικόνα των ''πεδίων'' - όπως ακριβώς και στον ηλεκτρομαγνητισμό. Εν γένει, η εικόνα των πεδίων θεωρείται γενικότερη και στην περίπτωση της βαρύτητας αποτέλεσε τη βάση για την ανάπτυξη της Γενικής Σχετικότητας από τον Αϊνστάιν. Η βασική εικόνα των πεδίων στην περίπτωση της κλασικής βαρύτητας, μπορεί να συνοψισθεί στις εξής δύο προτάσεις: