Πολικό σύστημα συντεταγμένων: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
|||
Γραμμή 47:
: <math> \frac{\partial \boldsymbol{\hat{r}}}{\partial\theta}=\boldsymbol{\hat{\theta}}, \ \frac{\partial \boldsymbol{\hat{\theta}}}{\partial\theta}=-\boldsymbol{\hat{r}} </math>
=== Τελεστής ανάδελτα ===▼
Σε δισδιάστατες καρτεσιανές συντεταγμένες, ο
: <math> \boldsymbol{\nabla}(x,y)=\bold{\hat{x}}\frac{\partial}{\partial x}+\bold{\hat{y}}\frac{\partial}{\partial y} </math>▼
Με αφετηρία τις εξισώσεις μετατροπής από καρτεσιανές σε πολικές συντεταγμένες, αποδεικνύεται ότι ο παραπάνω τελεστής δίνεται σε πολικές συντεταγμένες από τον εξής τύπο:▼
: <math> \boldsymbol{\nabla}(r,\theta)=\boldsymbol{\hat{r}}\frac{\partial}{\partial r}+\boldsymbol{\hat{\theta}}\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial\theta} </math>▼
=== Λαπλασιανή ===▼
Έχοντας ορίσει τη μορφή του τελεστή ανάδελτα σε πολικές συντεταγμένες, μπορούμε να βρούμε τη μορφή του [[Λαπλασιανός τελεστής|Λαπλασιανού τελεστή]] στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων:▼
: <math> \nabla^2=\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{\nabla}=\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial^2\theta} </math>▼
== Τροχιές σωμάτων σε πολικές συντεταγμένες ==
Γραμμή 120 ⟶ 136 :
Που είναι ο γνωστός τύπος του εμβαδού ενός κύκλου ακτίνας R.
|}
▲=== Τελεστής ανάδελτα ===
▲Σε δισδιάστατες καρτεσιανές συντεταγμένες, ο συντελεστής ανάδελτα δίνεται από τον τύπο:
▲: <math> \boldsymbol{\nabla}(x,y)=\bold{\hat{x}}\frac{\partial}{\partial x}+\bold{\hat{y}}\frac{\partial}{\partial y} </math>
▲Με αφετηρία τις εξισώσεις μετατροπής από καρτεσιανές σε πολικές συντεταγμένες, αποδεικνύεται ότι ο παραπάνω τελεστής δίνεται σε πολικές συντεταγμένες από τον εξής τύπο:
▲: <math> \boldsymbol{\nabla}(r,\theta)=\boldsymbol{\hat{r}}\frac{\partial}{\partial r}+\boldsymbol{\hat{\theta}}\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial\theta} </math>
▲=== Λαπλασιανή ===
▲Έχοντας ορίσει τη μορφή του τελεστή ανάδελτα σε πολικές συντεταγμένες, μπορούμε να βρούμε τη μορφή του Λαπλασιανού τελεστή στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων:
▲: <math> \nabla^2=\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{\nabla}=\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial^2\theta} </math>
== Μετρική στον Ευκλείδειο χώρο ==
| |||