Χρήστης:Egmontaz/Πρόχειρο 2: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
μ →Intro |
|||
Γραμμή 216:
: <math>\int \ln(x) \,dx = x \ln(x) - x + C.</math>
Σχετικοί τύποι, όπως οι αντιπαράγωγοι λογαρίθμων με άλλες βάσεις μπορούν να προκύψουν από αυτή την εξίσωση με αλλαγή βάσεων.<ref>{{Harvnb|Abramowitz|Stegun|year=1972|nb=yes|p=69}}</ref>
===Ολοκληρωτκή αναπαράσταση του φυσικού λογαρίθμου===
[[File:Natural logarithm integral.svg|right|thumb|Ο φυσικός λογάριθμος του ''t'' είναι η σκιασμένη επιφάνεια κάτω από την γραφική παράσταση της συνάρτησης ''f''(''x'') = 1/''x''.]]
Ο φυσικός λογάριθμος του ''t'' είναι ίσος με το [[ολοκλήρωμα]] του 1/''x'' ''dx'' από το 1 στο ''t'':
:<cite id=integral_naturallog><math>\ln (t) = \int_1^t \frac{1}{x} \, dx.</math></cite>
Με άλλα λόγια, το ln(''t'') ισούται με την επιφάνεια μεταξύ του άξονα των ''x'' και την γραφική παράσταση της συνάρτησης 1/''x'', επό το σημείο {{nowrap begin}}''x'' = 1{{nowrap end}} έως το {{nowrap begin}}''x'' = ''t''{{nowrap end}} (σχήμα στα δεξιά). Αυτό είναι συνέπεια του [[θεμελιώδες θεώρημα του λογισμού|θεμελιώδους θεωρήματος του λογισμού]] και του γεγονότος ότι η παράγωγος του ln(''x'') είναι 1/''x''. Το δεξί μέρος της εξίσωσης μπορεί να χρησιμοποιηθεί και ως ορισμός του φυσικού λογαρίθμου. Τύποι για γινόμενα και δυνάμεις λογαρίθμων μπορούν να προκύψουν από αυτόν τον ορισμό.<ref>{{Citation|last1=Courant|first1=Richard|title=Differential and integral calculus. Vol. I|publisher=[[John Wiley & Sons]]|location=New York|series=Wiley Classics Library|isbn=978-0-471-60842-4|id={{hide in print|[[Mathematical Reviews|MR]][http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr{{=}}1009558 1009558]}}{{only in print|MR1009558}}
|year=1988}}, section III.6</ref> Για παράδειγμα, ο τύπος για το γινόμενο {{nowrap begin}}ln(''tu'') = ln(''t'') + ln(''u''){{nowrap end}} μπορεί να προκύψει:
:<math> \ln(tu) = \int_1^{tu} \frac{1}{x} \, dx \ \stackrel {(1)} = \int_1^{t} \frac{1}{x} \, dx + \int_t^{tu} \frac{1}{x} \, dx \ \stackrel {(2)} = \ln(t) + \int_1^u \frac{1}{w} \, dw = \ln(t) + \ln(u).</math>
Η εξίσωση (1) χωρίζει το ολοκλήρωμα σε δύο μέρη, ενώ στην εξίσωση (2) γίνεται αλλαγή μεταβλητής ({{nowrap begin}}''w'' = ''x''/''t''{{nowrap end}}). Στο σχήμα παρακάτω, ο χωρισμός αντιστοιχεί στην διαίρεση της επιφάνειας στο κίτρινο και το μπλε τμήμα.
Rescaling the left hand blue area vertically by the factor ''t'' and shrinking it by the same factor horizontally does not change its size. Moving it appropriately, the area fits the graph of the function {{nowrap begin}}''f''(''x'') = 1/''x''{{nowrap end}} again. Therefore, the left hand blue area, which is the integral of ''f''(''x'') from ''t'' to ''tu'' is the same as the integral from ''1'' to ''u''. This justifies the equality (2) with a more geometric proof.
[[File:Natural logarithm product formula proven geometrically.svg|thumb|center|500px|A visual proof of the product formula of the natural logarithm|alt=The hyperbola depicted twice. The area underneath is split into different parts.]]
The power formula {{nowrap begin}}ln(''t''<sup>''r''</sup>) = ''r'' ln(''t''){{nowrap end}} may be derived in a similar way:
:<math>
\ln(t^r) = \int_1^{t^r} \frac{1}{x}dx = \int_1^t \frac{1}{w^r} \left(rw^{r - 1} \, dw\right) = r \int_1^t \frac{1}{w} \, dw = r \ln(t).
</math>
The second equality uses a change of variables ([[integration by substitution]]), {{nowrap begin}}''w'' := ''x''<sup>1/''r''</sup>{{nowrap end}}.
The sum over the reciprocals of natural numbers,
:<math>1 + \frac 1 2 + \frac 1 3 + \cdots + \frac 1 n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k},</math>
is called the [[harmonic series (mathematics)|harmonic series]]. It is closely tied to the natural logarithm: as ''n'' tends to [[infinity]], the difference,
:<math>\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln(n),</math>
[[limit of a sequence|converges]] (i.e., gets arbitrarily close) to a number known as the [[Euler–Mascheroni constant]]. This relation aids in analyzing the performance of algorithms such as [[quicksort]].<ref>{{Citation|last1=Havil|first1=Julian|title=Gamma: Exploring Euler's Constant|publisher=[[Princeton University Press]]|isbn=978-0-691-09983-5|year=2003}}, sections 11.5 and 13.8</ref>
| |||