Χρήστης:Egmontaz/Πρόχειρο 2: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
μ →Σημειώσεις: + |
|||
Γραμμή 270:
</math>
Για παράδειγμα, η τρίτη προσέγγιση με {{nowrap|''z'' {{=}} 1.5}} δίνει 0.4167, περίπου 0.011 παραπάνω από το {{nowrap|ln(1.5) {{=}} 0.405465}}. Έτσι το ln(''z'') μπορεί να προσεγγιστεί με οποιαδήποτε ακρίβεια, δεδομένου ότι ο αριθμός των προσθετέων είναι μεγάλος αρκετά. Στον στοιχειώδη λογισμό, το ln(''z'') συνεπώς αποκαλείται το [[όριο (μαθηματικά)|όριο]] αυτής της [[σειρά (μαθηματικά)|σειράς]] αθρισμάτων. Είναι η [[σειρά Taylor]] του φυσικού λογάριθμου στο {{nowrap begin}}''z'' = 1{{nowrap end}}.
;Πιο αποδοτικές σειρές
Μια άλλη σειρά είναι:
:<math>
\ln (z) = 2 \left ( \frac{z-1}{z+1} + \frac{1}{3}{\left(\frac{z-1}{z+1}\right)}^3 + \frac{1}{5}{\left(\frac{z-1}{z+1}\right)}^5 + \cdots \right ),
</math>
για μιγαδικούς αριθμούς ''z'' με θετικό [[πραγματικό μέρος]].<ref name=AbramowitzStegunp.68 /> Χρησιμοποιόντας τον [[Συμβολισμός Σίγμα|συμβολισμό Σίγμα]] μπορεί να γραφτεί και ως
:<math>\ln (z) = 2\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{2n+1}\left(\frac{z-1}{z+1}\right)^{2n+1}.</math>
Αυτή η σειρά μπορεί να προκύψει από την παραπάνω σειρά Taylor. Συγκλίνει πιο γρήγορα από την σειρά Taylor, ειδικά αν το ''z'' είναι κοντά στο 1. Για παράδειγμα για {{nowrap begin}}''z'' = 1.5{{nowrap end}}, ο πρώτοι τρεις όροι της δεύτερης σειράς προσεγγίζουν το ln(1.5) με σφάλμα περίπου 3×10<sup>−6</sup>. Αυτή η γρήγορη σύγκλιση για ''z'' κοντά στο 1 μπορεί να χρησιμοποιηθεί με τον ακόλουθο τρόπο: δεδομένης μίας μικρής ακρίβειας προσέγγισης {{nowrap|''y'' ≈ ln(''z'')}} και θέτοντας
:<math>A = \frac z{\exp(y)}, \,</math>
ο λογάριθμος του ''z'' είναι:
:<math>\ln (z)=y+\ln (A). \,</math>
Όσο καλύτερη είναι η αρχική προσέγγιση του ''y'', τόσο πιο κοντά στο 1 είναι το ''A'', έτσι ο λογάριθμός του μπορεί να υπολογιστεί αποδοτικά. Το ''A'' μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας την [[εκθετική συνάρτηση|εκθετική σειρά]], η οποία συγκλίνει γρήγορα υπό τον όρο ότι το ''y'' δεν είναι πολύ μεγάλο. Ο υπολογισμός λογάριθμων μεγαλύτερων ''z'' μπορεί να αναχθεί σε μικρότερες τιμές του ''z'' γράφοντας {{nowrap|''z'' {{=}} ''a'' · 10<sup>''b''</sup>}}, έτσι ώστε {{nowrap|ln(''z'') {{=}} ln(''a'') + ''b'' · ln(10)}}.
Με παρόμοια μέθοδος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό λογαρίθμων ακεραίων. Από την παραπάνω σειρά, προκύπτει ότι:
:<math>\ln (n+1) = \ln(n) + 2\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{2k+1}\left(\frac{1}{2 n+1}\right)^{2k+1}.</math>
Αν ο λογάριθμος ενός μεγάλου ακεραίου n είναι γνωστός, τότε αυτή η σειρά μπορεί να αποδώσει μία ταχέως συγκλίνουσα σειρά για το log(n+1).
== Σημειώσεις ==
| |||