Βικιπαίδεια

Κυκλική κίνηση: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Περιήγηση ιστορικού διαδραστικά
← Προηγούμενη διαφοράΕπόμενη διαφορά →
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
ΟπτικήΚώδικας wiki
συγχώνευση
Tas-90 (συζήτηση | συνεισφορές)
386 επεξεργασίες
μ Μικρές τροποποιήσεις, κυρίως αισθητικής φύσεως.
Γραμμή 8:
 
===Γωνιακή μετατόπιση===
Στη γενική περίπτωση της κυκλικής κίνησης, η ακτίνα θέσης του κινητού είναι σταθερή και ίση (κατά μέτρο) με την ακτίνα, R, της τροχιάς. Η θέση του σώματος προσδιορίζεται πλήρως από μια [[γωνία]] και μιαμία ακτίνα αναφοράς. Το σώμα βρίσκεται στη θέση που υποβάλλει η ακτίνα αναφοράς τημία χρονικήδεδομένη στιγμή t=0. Η γωνία αυτή ονομάζεται '''γωνιακή μετατόπιση'''. ΤοΣε μεγέθοςπολικές είναισυντεταγμένες, κάθετοη στογωνιακή επίπεδομετατόπιση τουσυμβολίζεται κύκλουμε το πεζό ελληνικό γράμμα θ και η φορά της προσδιορίζεται από τον [[κανόνας του δεξιού χεριού|κανόνα του δεξιού χεριού]].▼
 
▲Στη γενική περίπτωση της κυκλικής κίνησης, η ακτίνα θέσης του κινητού είναι σταθερή και ίση με την ακτίνα, R, της τροχιάς. Η θέση του σώματος προσδιορίζεται πλήρως από μια [[γωνία]] και μια ακτίνα αναφοράς. Το σώμα βρίσκεται στη θέση που υποβάλλει η ακτίνα αναφοράς τη χρονική στιγμή 0. Η γωνία αυτή ονομάζεται '''γωνιακή μετατόπιση'''. Το μεγέθος είναι κάθετο στο επίπεδο του κύκλου και προσδιορίζεται από τον [[κανόνας του δεξιού χεριού|κανόνα του δεξιού χεριού]].
 
===Γωνιακή ταχύτητα===
Η [[γωνιακή ταχύτητα]], '''ω''', ενός κινητού που εκτελεί κυκλική κίνηση ορίζεται ως ο ρυθμός με τον οποίο η ακτίνα θέσης του κινητού σαρώνει γωνιακές αποστάσεις.<ref name=upatra group="τμήματα φυσικής">{{cite web|title=Κυκλική κίνηση|url=http://www.physics.upatras.gr/laserlab/FYE/pdf/d%20kks.pdf|publisher=Τμήμα Φυσικής, Πανεπιστήμιο Πατρών|accessdate=10-8-2011}}</ref> ΤοΗ μεγέθοςγωνιακή είναιταχύτητα κάθετοπεριγράφεται πολλές φορές με ένα διάνυσμα με διεύθυνση κάθετη στο επίπεδο του κύκλου και φορά που προσδιορίζεται από τον [[κανόνας του δεξιού χεριού|κανόνα του δεξιού χεριού]]. Επίσημη μονάδα μέτρησης της γωνιακής ταχύτητας είναι το 1[[δευτερόλεπτο|s]]<sup>-1</sup>, αν και είθισται να χρησιμοποιείται το 1[[ακτίνιο|rad]]/s καθώς με τον τρόπο αυτό γίνεται πιο κατανοητή η φυσική σημασία του εν λόγω μεγέθους.▼
 
===Θέση===▼
▲Η [[γωνιακή ταχύτητα]], '''ω''', ενός κινητού που εκτελεί κυκλική κίνηση ορίζεται ως ο ρυθμός με τον οποίο η ακτίνα θέσης του κινητού σαρώνει γωνιακές αποστάσεις.<ref name=upatra group="τμήματα φυσικής">{{cite web|title=Κυκλική κίνηση|url=http://www.physics.upatras.gr/laserlab/FYE/pdf/d%20kks.pdf|publisher=Τμήμα Φυσικής, Πανεπιστήμιο Πατρών|accessdate=10-8-2011}}</ref> Το μεγέθος είναι κάθετο στο επίπεδο του κύκλου και προσδιορίζεται από τον [[κανόνας του δεξιού χεριού|κανόνα του δεξιού χεριού]]. Επίσημη μονάδα μέτρησης της γωνιακής ταχύτητας είναι το 1[[δευτερόλεπτο|s]]<sup>-1</sup>, αν και είθισται να χρησιμοποιείται το 1[[ακτίνιο|rad]]/s καθώς με τον τρόπο αυτό γίνεται πιο κατανοητή η φυσική σημασία του εν λόγω μεγέθους.
ΈστωΑν σύστημα αναφοράς θεωρηθείεπιλεγεί ένα [[καρτεσιανό σύστημα αναφοράς]] με κέντρο το κέντρο του κύκλου, ακτίναστην αναφοράςαρχή τοντων ημιάξονααξόνων x'x,έτσι καιώστε οτο άξοναςεπίπεδο y'x-y ανήκεινα στοταυτίζεται με το επίπεδο τηςτου τροχιάς.κύκλου, Οιτότε εξισώσειςοι συντεταγμένες (x,y,z) της θέσης του σώματος είναικάθε χρονική στιγμή περιγράφονται από τις εξισώσεις:<ref name="uoa" group="τμήματα φυσικής">{{cite web | url=http://www.cc.uoa.gr/~pji/lecvec2.doc | title=Κυκλική κίνηση-Οδογράφος | accessdate=2011-08-10 | pages=1}}</ref>▼
 
: <math> x=R\cos\theta, \ \ \ y=R\sin\theta, \ \ \ z=0</math>
▲===Θέση===
 
όπου R η ακτίνα του κύκλου και θ η γωνιακή μετατόπιση. Ισοδύναμα, οι συντεταγμένες (x,y) του κινητού στο επίπεδο της τροχιάς ικανοποιούν πάντοτε την εξίσωση
▲Έστω σύστημα αναφοράς θεωρηθεί ένα [[καρτεσιανό σύστημα αναφοράς]] με κέντρο το κέντρο του κύκλου, ακτίνα αναφοράς τον ημιάξονα x'x, και ο άξονας y'y ανήκει στο επίπεδο της τροχιάς. Οι εξισώσεις της θέσης του σώματος είναι:<ref name="uoa" group="τμήματα φυσικής">{{cite web | url=http://www.cc.uoa.gr/~pji/lecvec2.doc | title=Κυκλική κίνηση-Οδογράφος | accessdate=2011-08-10 | pages=1}}</ref>
 
: <math> x^2+y^2=RcosR^2 \ \theta</math>, <math>y=Rsin\theta</math>, <math>z=0</math>
 
===Περίοδος===
Γραμμή 27 ⟶ 28 :
 
===Συχνότητα===
Το πηλίκο του αριθμού των περιφορών που εκτελεί ένα κινητό προς τον [[χρόνος|χρόνο]] στον οποίο εκτελούνται ονομάζεται '''συχνότητα''' της κυκλικής κίνησης και συμβολίζεται συνήθως με το πεζό '''f'''. Μονάδα της συχνότητας στο S.I. είναι το 1[[δευτερόλεπτο|s]]<sup>-1</sup>, το οποίο είθισται να συμβολίζεται ως '''Hz''' (1Hz=1s<sup>-1</sup>).<ref name="upatra" group="τμήματα φυσικής" /> Ισχύει δε η σχέση:
 
: <math> f=\omegafrac{1}{T}=\frac{\omega}{2\pi f} \ \ \ </math>
 
===Εφαπτομενική ταχύτητα===
Αν ένα σώμα εκτελεί κυκλική κίνηση, η ταχύτητά του είναι εφαπτόμενη στην τροχιά, δηλαδή τον κύκλο. Η εφαπτομενική ταχύτητα, '''v<sub>ε</sub>''', ενός κινητού που εκτελεί κυκλική κίνηση ισούται κατά μέτρο με το μήκος τόξου που διαγράφει η τροχιά του σώματος σε ένα δεδομένο χρονικό διάστημα και έχει φορά εφαπτομενική προς την περιφέρεια του κύκλου που διαγράφει κατά την κίνησή του. Μονάδα μέτρησης της εφαπτομενικής ταχύτητας στο S.I. είναι το 1[[μέτρο|m]]/[[δευτερόλεπτο|s]].
 
Αν τοποθετήσουμε την αρχή των αξόνων στο κέντρο του κύκλου, τότε η ταχύτητα δίνεται διανυσματικά από την εξίσωση:
 
: <math> \begin{align} & \bold{v}=\omega R\ \boldsymbol{\hat{\theta}} \\ & \bold{a}=-\omega^2R\ \boldsymbol{\hat{r}}+\alpha R\ \boldsymbol{\hat{\theta}} \end{align} </math>
 
Ενώ κατά μέτρο ισχύει:
Γραμμή 43 ⟶ 44 :
 
===Επιτάχυνση===
[[Αρχείο:Centripetal force el.png|thumb|300px]]▼
Η [[επιτάχυνση]] ανήκει στο επίπεδο της τροχιάς, ώστε εν γένει να αναλύεται δύο συνιστώσες — μία ακτινική και μία εφαπτομενική στην τροχιά.<ref name="uoa" group="τμήματα φυσικής" /> Αν και η ακριβής διανυσματική μορφή που έχει η επιτάχυνση εξαρτάται από το αν η κίνηση είναι ομαλή (σταθερή γωνιακή ταχύτητα) ή ομαλά επιταχυνόμενη (χρονικά μεταβαλλόμενη γωνιακή ταχύτητα), το γεγονός ότι το διάνυσμα της ταχύτητας του κινητού που εκτελεί κυκλική κίνηση αλλάζει φορά κατά την πάροδο του χρόνου σημαίνει ότι πρέπει να υπάρχει κάποια επιτάχυνση.▼
 
▲Η [[επιτάχυνση]] είναι μία διανυσματική ποσότητα που ανήκει στο επίπεδο της τροχιάς, ώστε εν γένει να αναλύεται δύο συνιστώσες — μία ακτινική και μία εφαπτομενική στην τροχιά.<ref name="uoa" group="τμήματα φυσικής" /> Αν και η ακριβής διανυσματική μορφή που έχει η επιτάχυνση εξαρτάται από το αν η κίνηση είναι ομαλή (σταθερή γωνιακή ταχύτητα) ή ομαλά επιταχυνόμενη (χρονικά μεταβαλλόμενη γωνιακή ταχύτητα), το γεγονός ότι το διάνυσμα της ταχύτητας του κινητού που εκτελεί κυκλική κίνηση αλλάζει φορά κατά την πάροδο του χρόνου σημαίνει ότι πρέπει να υπάρχει κάποια επιτάχυνση.
 
Μονάδα μέτρησης της επιτάχυνσης στο S.I. είναι το 1m/s<sup>2</sup>.
Γραμμή 49 ⟶ 52 :
Η επιτάχυνση ισούται με:
 
: <math> \bold{a}=-\omega^2R\ \boldsymbol{\hat{r}}+\alpha R\ \boldsymbol{\hat{\theta}}</math>
 
Η ακτινική συνιστώσα ονομάζεται '''κεντρομόλος επιτάχυνση''' (a<sub>κ</sub>)<ref name="upatra" group="τμήματα φυσικής" /> και η εφαπτομενική '''επιτρόχια επιτάχυνση''' (a<sub>ε</sub>).<ref name="uoa" group="τμήματα φυσικής" /> Οι δύο συνιστώσες είναι κάθετες.<ref name="uoa" group="τμήματα φυσικής" /> ΑποδεικνύεταιΤο γιαμέτρο τηντων κεντρομόλοςδύο επιτάχυνσησυνιστωσών είναι ισχύειδε:▼
▲[[Αρχείο:Centripetal force el.png|thumb|300px]]
▲Η ακτινική συνιστώσα ονομάζεται '''κεντρομόλος επιτάχυνση'''<ref name="upatra" group="τμήματα φυσικής" /> και η εφαπτομενική '''επιτρόχια επιτάχυνση'''.<ref name="uoa" group="τμήματα φυσικής" /> Οι δύο συνιστώσες είναι κάθετες.<ref name="uoa" group="τμήματα φυσικής" /> Αποδεικνύεται για την κεντρομόλος επιτάχυνση ισχύει:
 
: <math> \begin{align} & a_{\kappa}=\frac{\upsilonv^2}{R}</math><ref name="upatra"\\ group& a_{\epsilon}="τμήματα\alpha φυσικής"R \end{align} </math>
 
όπου a<sub>κ</sub> είναια η κεντρομόλος[[γωνιακή επιτάχυνση]], υ η ταχύτηταοποία καιισούται Rμε ητο ακτίναρυθμό τουμεταβολής κύκλουτης γωνιακής ταχύτητας (α=dω/dt).
 
Η παραπάνω σχέση αποδεικνύει (βάσει του [[νόμοι κίνησης του Νεύτωνα|2<sup>ου</sup> νόμου του Νεύτωνα]] '''F'''=m'''a''') ότι για να διατηρηθεί μιαμία κυκλική κίνηση είναι απαραίτητο η συνολική δύναμη που ασκείται στο σώμα να έχει μία συγκεκριμένη κετρνομόλο συνιστώσα, η οποία ονομάζεται '''[[κεντρομόλος δύναμη]]'''.<ref name="upatra" group="τμήματα φυσικής" />
 
Για την άλλη συνιστώσα αποδεικνύεται ότι ισχύει:
 
<math> a_{\epsilon}=R\cdot\frac{d\omega}{dt}</math><ref name="upatra" group="τμήματα φυσικής" />▼
 
όπου a<sub>ε</sub> είναι η επιτρόχιος επιτάχυνση, ω η γωνιακή ταχύτητα και R η ακτίνα του κύκλου
 
Αν η επιτρόχια επιτάχυνση είναι μηδέν, τότε το μέτρο της ταχύτητας δεν αλλάζει και η κίνηση είναι '''ομαλή κυκλική κίνηση'''.<ref name="upatra" group="τμήματα φυσικής" />
 
===Σχέση γωνιακών και γραμμικών μεγεθών===
 
Τα γραμμικά μεγέθη είναι ανάλογα με τα αντίστοιχα γωνιακά με συντελεστή [[Αναλογία (Μαθηματικά)|αναλογίας]] την ακτίνα R. Πιο συγκεκριμένα:
*<math>s=\theta\cdot R</math><ref name="upatra" group="τμήματα φυσικής" />▼
*<math>\upsilon=\omega \cdot R</math><ref name="upatra" group="τμήματα φυσικής" />▼
*<math>a_\epsilon=\frac{d\omega}{dt} \cdot R</math><ref name="upatra" group="τμήματα φυσικής" />
 
▲*<math> s=\theta\cdot R \ \ \ </math><ref name="upatra" group="τμήματα φυσικής" />
Όπου θ η γωνιακή μετατόπιση, s η απόσταση που έχει διανυθεί (στην πραγματικότητα είναι διαφορετική, γιατί αν αλλάξει η φορά κίνησης, η απειροστή μετατόπιση αφαιρείται αντί να προστίθεται), υ η ταχύτητα, ω η γωνιακή ταχύτητα και α<sub>ε</sub> η επιτρόχια επιτάχυνση.
▲*<math>\upsilon v=\omega R \ \ \cdot R</math><ref name="upatra" group="τμήματα φυσικής" />
▲*<math> a_{\epsilon}=\alpha R \cdot \frac{d \omega}{dt} </math> </math><ref name="upatra" group="τμήματα φυσικής" />
 
όπου θ η γωνιακή μετατόπιση, s το μήκος τόξου που διανύει το κινητό, v η ταχύτητα, ω η γωνιακή ταχύτητα και a<sub>ε</sub> η επιτρόχια επιτάχυνση.
 
===Στροφορμή===
Η [[στροφορμή]], '''L''', του σώματος ισούται με:
 
: <math> \bold{L}=\bold{r}\times\bold{p}=\bold{r}\times(m\bold{v})=m\omega R \ \boldsymbol{\hat{z}} </math>
Η [[στροφορμή]] του σώματος είναι <math>L=m\vec{\upsilon}\times r</math>, όπου L η στροφορμή, m η μάζα του σώματος, υ η ταχύτητά του και r το διάνυσμα θέσης του.<ref name="upatra" group="τμήματα φυσικής" />
 
όπου m η μάζα του σώματος και r το διάνυσμα θέσης του.<ref name="upatra" group="τμήματα φυσικής" /> Η στροφορμή έχει λοιπόν διεύθυνση κάθετη στο επίπεδο της τροχιάς και φορά που εξαρτάται από το πρόσημο της γωνιακής ταχύτητας του κινητού — θετική αν η κίνηση γίνεται δεξιόστροφα (ω>0) και αρνητική αν η κίνηση γίνεται αριστερόστροφα (ω<0). Ο όρος «θετική» ή «αριστερή» φορά ορίζεται με βάση τον άξονα z, ο οποίος σύμφωνα με την καθιερωμένη σύμβαση θεωρείται κάθετος στο επίπεδο της τροχιάς.
==Ομαλή κυκλική κίνηση==▼
 
▲==Ομαλή κυκλική κίνηση==
Η ομαλή κυκλική κίνηση είναι μία από τις πιο σημαντικές [[περιοδικό φαινόμενο|περιοδικές]] κινήσεις.
 
Στην ομαλή κυκλική κίνηση το μέτρο της ταχύτητας παραμένει σταθερό,<ref name="upatra" group="τμήματα φυσικής" /> ενώ η κατεύθυνσηκατεύθυνσή της μεταβάλλεται συνεχώς. Η γραμμική ταχύτητα είναι ανάλογη με το τόξο που σχηματίζειδιαγράφει το κινητό κατά την κίνηση του προς το χρόνοαντίστοιχο στονχρονικό οποίοδιάστημα σχηματίστηκεπου απαιτήθηκε. ΓιαΣε χρονικό μιαδιάστημα περίοδομίας περιόδου, η μετατόπιση επί του κύκλου ισούται με τοτην μήκοςπεριφέρειά του κύκλου, δηλαδή <math>\upsilon=\frac{2\pi R}{T}</math>''2πR.
 
===Απλή αρμονική ταλάντωση===
 
Η [[απλή αρμονική ταλάντωση]] συνδέεται με την ομαλή κυκλική κίνηση.<ref name="uoc" group="τμήματα φυσικής">{{cite web | url=http://ph108.edu.physics.uoc.gr/virtual_labs/simple_harmonic_motion.html | title=Απλή Αρμονική Ταλάντωση - Ομαλή Κυκλική Κίνηση | accessdate=2011-08-10}}</ref>
 
Στην περιγραφή της θέσης όπως—όπως αναφέρεται παραπάνωπιο πάνω στη σχετική θεματική ενότητα— οι δύο πρώτες συνιστώσες είναι εξισώσεις απλών αρμονικών ταλαντώσεων, αν η κίνηση είναι ομαλή.
 
Η γωνιακή ταχύτητα της ομαλής κυκλικής κίνησης ισούται με την φασική συχνότητα της απλής αρμόνικής ταλάντωσης αν έχουν την ίδια συχνότητα. Για την ακρίβεια, όπως αναφέρθηκε προηγουμένως, ισχύει ότι
 
: <math> \omega=2\pi f </math>
 
Η γωνιακή ταχύτητα της ομαλής κυκλικής κίνησης ισούται με την φασική συχνότητα της απλής αρμόνικής ταλάντωσης αν έχουν την ίδια συχνότητα. Για την ακρίβεια ισχύει: <math>\omega=2\pi f</math> όπου ω η φασική ταχύτητα ή γωνιακή συχνότητα, και f η συχνότητα. Για αυτό το λόγο η ποσότητα ω είτε αναπαριστά γωνιακή ταχύτητα είτε αναπαριστά φασική συχνότητα ονομάζεται και ονομάζεται '''κυκλική συχνότητα'''.
 
== Δυνάμεις στην ομαλή κυκλική κίνηση ==
Ανακτήθηκε από "https://el.wikipedia.org/wiki/Κυκλική_κίνηση"