Χρήστης:Egmontaz/Πρόχειρο 2: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
μ δρθ |
→Σημειώσεις: + |
||
Γραμμή 410:
:<math> \ln (n!) = \ln (1) + \ln (2) + \cdots + \ln (n). \,</math>
Αυτό μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την παραγωγή του [[τύπος του Stirling|τύπου του Stirling]], μίας προσέγγισης του ''n''! για μεγάλους ''n''.<ref>{{Citation|last1=Slomson|first1=Alan B.|title=An introduction to combinatorics|publisher=CRC Press|location=London|isbn=978-0-412-35370-3|year=1991}}, chapter 4</ref>
==Γενικεύσεις ==
===Μιγαδικός λογάριθμος===
[[File:Complex number illustration multiple arguments.svg|thumb|right|Πολική μορφή του {{nowrap|''z {{=}} x + iy''}}. Αμφότερα τα φ και φ' είναι ορίσματα του ''z''.]]
Οι [[μιγαδικοί αριθμοί]] ''a'' που επιλύουν την εξίσωση
:<math>e^a=z.\,</math>
ονομάζονται ''μιγαδικοί λογάριθμοι''. Εδώ ''z'' είναι ένας μιγαδικός αριθμός. Ένας μιγαδικός αριθμός αναπαρίσταται κοινώς ως {{nowrap begin}}''z = x + iy''{{nowrap end}}, όπου ''x'' και ''y'' είναι πραγματικοί αριθμοί και ''i'' είναι η [[φανταστική μονάδα]]. Ένας τέτοιος αριθμός μπορεί να παρασταθεί ως σημείο στο [[μιγαδικό επίπεδο]], όπως φαίνεται στα δεξιά. Η [[πολική μορφή]] αναπαριστά ένα μη μηδενικό μιγαδικό αριθμό ''z'' χρησιμοποιώντας την [[απόλυτη τιμή]] του, ήτοι την απόσταση ''r'' από την αρχή των αξόνων, και μία γωνία μεταξύ του άξονα των ''x'' και της ευθείας που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και τον ''z''. Η γωνία καλείται όρισμα του ''z''. Η απόλυτη τιμή ''r'' του ''z'' είναι
:<math>r=\sqrt{x^2+y^2}. \,</math>
Το [[όρισμα (μιγαδική ανάλυση)|όρισμα]] φ δεν προσδιορίζεται μοναδικά από τον ''z'': το φ' = φ + 2π είναι επίσης όρισμα του ''z'' επειδή προσθέτοντας 2π ακτίνια ή 360 μοίρες{{#tag:ref|Δείτε [[ακτίνιο]] για την μετατροπή μεταξύ 2[[Αριθμός π|π]] και 360 [[Μοίρα (κύκλου)|μοίρες]].|group="σημ."}} στο όρισμα φ αντιστοιχεί με αριστερόστροφη περιστροφή γύρω από την αρχή των αξόνων κατά γωνία 2π. Ο μιγαδικός αριθμός που προκύπτει έτσι είναι πάλι ο ''z'', όπως φαίνεται στα δεξιά. Ωστόσο, μόνο ένα όρισμα φ ικανοποιεί τις {{nowrap|−π < φ}} και {{nowrap|φ ≤ π}}. Αυτό αποκαλείται ''κύριο'' ή ''πρωτεύον'' όρισμα και συμβολίζεται Arg(''z''), με κεφαλαίο Α.<ref>{{Citation|last1=Ganguly|location=Kolkata|first1=S.|title=Elements of Complex Analysis|publisher=Academic Publishers|isbn=978-81-87504-86-3|year=2005}}, Definition 1.6.3</ref> (Μία εναλλακτική κανονικοποίηση είναι η {{nowrap|0 ≤ Arg(''z'') < 2π}}.<ref>{{Citation|last1=Nevanlinna|first1=Rolf Herman|author1-link=Rolf Nevanlinna|last2=Paatero|first2=Veikko|title=Introduction to complex analysis|location=Providence, RI|publisher=AMS Bookstore|isbn=978-0-8218-4399-4|year=2007}}, section 5.9</ref>)
== Σημειώσεις ==
| |||