Απολλώνιο πρόβλημα: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Το 16ο αιώνα, ο [[Άντριαν φαν Ρόομεν]] έλυσε το πρόβλημα χρησιμοποιώντας τεμνόμενες [[Υπερβολή (γεωμετρία)|υπερβολές]] χωρίς όμως να χρησιμοποιεί μόνο [[Κατασκευή με κανόνα και διαβήτη|κατασκευές με κανόνα και διαβήτη]]. Ο [[Φρανσουά Βιέτ]] κατέληξε σε μία τέτοια λύση εργαζόμενος με απλούστερες περιπτώσεις, θεωρώντας μηδενική την [[Ακτίνα (γεωμετρία)|ακτίνα]] ενός από τους τρεις δεδομένους κύκλους (εκφυλίζοντας τον σε [[σημείο]]) είτε θεωρώντας την άπειρη (οπότε ο κύκλος εκφυλίζεται σε [[ευθεία]]). Η προσέγγιση του Βιέτ, η οποία χρησιμοποιεί απλουστευμένες περιπτώσεις για να λύσει πολυπλοκότερες θεωρείται μία από τις πιθανές ανακατασκευές της λύσης του Απολλώνιου. Η μέθοδος του φαν Ρόομεν απλουστεύθηκε από τον [[Ισαάκ Νεύτων|Ισαάκ Νιούτον]], ο οποίος απέδειξε ότι το πρόβλημα του Απολλώνιου είναι ισοδύναμο με την εύρεση ενός σημείου με γνωστές τις διαφορές των αποστάσεών του από τρία γνωστά σημεία. Αυτό έχει εφαρμογή στην πλοήγηση και σε συστήματα προσδιορισμού θέσεως όπως το [[Συσκευή Λοράν|LORAN]].

Η ιδιότητα της επαφής ορίζεται ως εξής. Αρχικά ένα σημείο, ευθεία ή κύκλος θεωρείται ότι εφάπτεται στον εαυτό του, έτσι αν δοθεί ένα κύκλος που είναι ήδη εφαπτόμενος σε άλλους δύο δεδομένους, η διάταξη λογίζεται ως λύση στο απολλώνιο πρόβλημα. Δύο διακριτά γεωμετρικά αντικείμενα θεωρείται ότι ''τέμνονται'' αν έχουν ένα κοινό σημείο. Εξ ορισμού ένα σημείο εφάπτεται σε ένα κύκλο ή μία ευθεία αν τα τέμνει, δηλαδή να βρίσκεται επί αυτών. Έτσι δύο διακριτά σημεία δεν μπορούν να είναι μεταξύ τους εφαπτόμενα. Αν η γωνία μεταξύ ευθειών ή κύκλων σε ένα σημείο τομής είναι μηδενική, τότε ορίζεται ότι αυτά εφάπτονται, το σημείο τομής ονομάζεται ''σημείο επαφής''. Στην πράξη δύο διακριτοί κύκλοι είναι εφαπτόμενοι αν τέμνονται σε ένα μόνο σημείο, αν τέμνονται σε δύο ή κανένα σημεία τότε δεν εφάπτονται. Το ίδιο ισχύει και για ένα ζεύγος ευθείας και κύκλου. Δύο διακριτές ευθείες δεν μπορούν να εφάπτονται στο επίπεδο, εντούτοις δύο [[σχετικές θέσεις γεωμετρικών σχημάτων#.CE.A3.CF.87.CE.B5.CF.84.CE.B9.CE.BA.CE.AD.CF.82 .CE.B8.CE.AD.CF.83.CE.B5.CE.B9.CF.82 .CE.B5.CF.85.CE.B8.CE.B5.CE.B9.CF.8E.CE.BD|παράλληλες ευθείες]] μπορεί να θεωρηθεί ότι εφάπτονται σε ένα [[σημείο στο άπειρο]] στην [[Γεωμετρία της αντιστροφής]].<ref>{{cite book|author=Coxeter, HSM|title="Introduction to Geometry"|isbn=978-0471504580|publisher=Wiley|location=New York|year=1969|edition=2nd}}</ref><ref>{{cite book|author=Needham, T|title="Visual Complex Analysis"|isbn=978-0-19-853446-4|publisher=Oxford University Press|location=New York|year=2007|pages = 140–141}}</ref>

Το απολλώνιο πρόβλημα μπορεί να μετασχηματιστεί ως το πρόβλημα εύρεσης ενός ή περισσοτέρων σημείων, τέτοιων ώστε οι διαφορές των αποστάσεων τους από τρία δεδομένα σημεία να ισούνται με τρεις γνωστές τιμές. Έστω ένα κύκλος-λύση ακτίνας ''r''_''s'' και τρεις δεδομένοι κύκλοι με ακτίνες ''r''₁, ''r''₂ και ''r''₃. Αν ο κύκλος λύση είναι εξωτερικά εφαπτόμενος και στους τρεις δεδομένους κύκλους, οι αποστάσεις του κέντρου του από τα κέντρα των δεδομένων κύκλων ισούνται με {{nowrap|''d''₁ {{=}} ''r''₁ + ''r''_''s''}}, {{nowrap|''d''₂ {{=}} ''r''₂ + ''r''_''s''}} και {{nowrap|''d''₃ {{=}} ''r''₃ + ''r''_''s''}}, αντίστοιχα. Συνεπώς οι διαφορές αυτών των αποστάσεων είναι σταθερές, όπως {{nowrap|''d''₁ − ''d''₂ {{=}} ''r''₁ − ''r''₂}}. Εξαρτώνται μόνο από τις γνωστές ακτίνες των δεδομένων κύκλων και όχι από την ακτίνα του κύκλου-λύση ''r''_''s'', η οποία απαλείφεται. Ο δεύτερος μετασχηματισμός του απολλώνιου προβλήματος μπορεί να γενικευθεί και για εσωτερικώς εφαπτόμενους κύκλους-λύσεις (για τους οποίους η απόσταση από κέντρο σε κέντρο ισούται με την διαφορά των ακτίνων), αλλάζοντας τις αντίστοιχες διαφορές αποστάσεων σε αθροίσματα αποστάσεων έτσι ώστε η ακτίνα ''r''_''s'' του κύκλου-λύση πάλι να απαλειφθεί. Ο επαναμετασχηματισμός των αποστάσεων των κέντρων είναι χρήσιμος στις [[#Τεμνόμενες υπερβολές|παρακάτω λύσεις]] του [[Άντριαν φαν Ρόομεν]] και του [[Ισαάκ Νεύτων|Ισαάκ Νιούτον]], καθώς και στον [[υπερβολικός προσδιορισμός θέσης|υπερβολικό προσδιορισμό θέσης]] με τον οποίο εντοπίζεται μία θέση από τις διαφορές στις αποστάσεις από τρία γνωστά σημεία. Για παράδειγμα, συστήματα πλοήγησης όπως το [[Συσκευή Λοράν|LORAN]] αναγνωρίζουν την θέση του δέκτη από τις διαφορές των χρόνων άφιξης των σημάτων από τρις διαφορετικές σταθερές θέσεις, που αντιστοιχούν στις διαφορές αποστάσεων από αυτούς τους πομπούς.<ref name="Hofmann-Wellenhof"/><ref name="Schmidt 1972"/>

Έχει αναπτυχθεί πλούσιο ρεπερτόριο γεωμετρικών και αλγεβρικών μεθόδων για την λύση του απολλώνιου προβλήματος,<ref name="altshiller-court_1961" >{{cite journal| author = Althiller-Court N| year = 1961| title = The problem of Apollonius| journal = The Mathematics Teacher| volume = 54| pages = 444–452}}</ref><ref name="gabriel-marie_1912" >{{cite book| author = Gabriel-Marie F| year = 1912| title = Exercices de géométrie, comprenant l'esposé des méthodes géométriques et 2000 questions résolues| publisher = [[Maison A. Mame et Fils]]| location = Tours| pages = [http://quod.lib.umich.edu/cgi/t/text/pageviewer-idx?c=umhistmath;cc=umhistmath;rgn=full%20text;idno=ACV3924.0001.001;didno=ACV3924.0001.001;view=pdf;seq=00000048 18–20], [http://quod.lib.umich.edu/cgi/t/text/pageviewer-idx?c=umhistmath;cc=umhistmath;rgn=full%20text;idno=ACV3924.0001.001;didno=ACV3924.0001.001;view=pdf;seq=00000703 673–677]| url = http://quod.lib.umich.edu/cgi/t/text/text-idx?c=umhistmath;idno=ACV3924}} {{fr icon}}</ref> το οποίο έχει αποκληθεί και «''το πιο διάσημο από όλα''» τα γεωμετρικά προβλήματα.<ref name="coolidge">{{cite book| author = [[Julian Coolidge|Coolidge JL]]| year = 1916| title = A Treatise on the Circle and the Sphere| publisher = Clarendon Press| location = Oxford| pages = 167–172}}</ref> Η αρχική προσέγγιση του [[Απολλώνιος ο Περγαίος|Απολλώνιου του Περγαίου]] έχει χαθεί, αλλά έχουν προταθεί ανακατασκευές της λύσης του από τον [[Φρανσουά Βιέτ]] και άλλους, βασισμένες σε στοιχεία από την περιγραφή του [[Πάππος|Πάππου]].<ref name="pappus" >{{cite book| author = [[Πάππος]]| year = 1876| title = Pappi Alexandrini collectionis quae supersunt| editor = F Hultsch| edition = 3 volumes}} {{la icon}}</ref><ref name="bruen_1983"/> Η πρώτη νέα μέθοδος λύσης δημοσιεύτηκε το 1596 από τον [[Άντριαν φαν Ρόομεν]], ο οποίος θεώρησε τα κέντρα των κύκλων-λύσεων ως σημεία τομής δύο [[Υπερβολή (γεωμετρία)|υπερβολών]].<ref name="van_roomen_1596">{{cite book| author = [[άντριανAdriaan φανvan ΡόομενRoomen|van Roomen A]]| year = 1596| title = Problema Apolloniacum quo datis tribus circulis, quaeritur quartus eos contingens, antea a…Francisco Vieta…omnibus mathematicis…ad construendum propositum, jam vero per Belgam…constructum| location = Würzburg|language = latin|publisher = Typis Georgii Fleischmanni}} {{la icon}}</ref><ref name="van roomen by newton">{{cite book| author = [[ΙσαάκIsaac ΝεύτωνNewton|Newton I]]| year = 1974| title = The Mathematical Papers of Isaac Newton, Volume VI: 1684–1691| editor = DT Whiteside| publisher = Cambridge University Press| location = Cambridge| isbn = 0-521-08719-8| page = 164}}</ref> Η μέθοδος του φαν Ρόομεν βελτιώθηκε από τον [[Ισαάκ Νεύτων|Ισαάκ Νιούτον]] το 1687 στο έργο του ''[[Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica|Principia]]'',<ref name="Newton_1687">{{cite book| author = [[ΙσαάκIsaac ΝεύτωνNewton|Newton I]]| year = 1687| title = [[Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica]]| nopp = true| page = Book I, Section IV, Lemma 16}}</ref><ref>{{cite book| author = [[ΙσαάκIsaac ΝεύτωνNewton|Newton I]]| year = 1974| title = The Mathematical Papers of Isaac Newton, Volume VI: 1684–1691| editor = DT Whiteside| publisher = Cambridge University Press| location = Cambridge| isbn = 0-521-08719-8| pages = 162–165, 238–241}}</ref> και από τον [[Τζον Κέισι]] (''John Casey'') το 1881.<ref name="casey_1881">{{cite book| author = [[John Casey (mathematician)|Casey J]]| origyear = 1881| title = A sequel to the first six books of the Elements of Euclid|isbn=978-1418166090|publisher=Hodges, Figgis & co.|year= 1886| page = 122}}</ref>

Η μέθοδος του φαν Ρόομεν, παρόλο που έλυσε επιτυχώς το απολλώνιο πρόβλημα, είχε ένα μειονέκτημα. Μία πολύτιμη ιδιότητα της κλασσικής [[Ευκλείδεια γεωμετρία|Ευκλείδειας γεωμετρίας]] είναι η δυνατότητα να λύνονται τα προβλήματα με τη χρήση μόνο [[κατασκευές με κανόνα και διαβήτη|κανόνα και διαβήτη]].<ref>{{cite book| author = Courant R, Robbins H| year = 1943| title = What is Mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods| publisher = Oxford University Press| location = London| pages = 125–127, 161–162| isbn = 0195105192}}</ref> Πολλές κατασκευές είναι αδύνατες χρησιμοποιώντας μόνο αυτά τα εργαλεία, όπως η [[τριχοτόμηση της γωνίας]]. Εντούτοις πολλά τέτοια ''αδύνατα'' προβλήματα μπορούν αν λυθούν με αλληλοτεμνόμενες καμπύλες όπως οι υπερβολές, οι [[έλλειψη|ελλείψεις]] και οι [[παραβολή (γεωμετρία)|παραβολές]] ([[κωνική τομή|κωνικές τομές]]). Για παράδειγμα ο [[διπλασιασμός του κύβου]] (το πρόβλημα της κατασκευής ενός κύβου με διπλάσιο όγκο από ένα δεδομένο κύβο) δεν μπορεί να λυθεί με κανόνα και διαβήτη, όμως ο [[Μέναιχμος]] απέδειξε ότι το πρόβλημα μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας τις τομές δύο παραβολών.<ref>{{cite book|author=Bold B| title = Famous problems of geometry and how to solve them| publisher = Dover Publications| year = 1982| pages = 29–30| isbn = 0486242978}}</ref> Έτσι η λύση του φαν Ρόομεν, η οποία χρησιμοποιεί την τομή δύο υπερβολών, δεν εξακρίβωσε το αν μπορεί το πρόβλημα να λυθεί με κανόνα και διαβήτη.

Ο φίλος του φαν Ρόομεν, [[Φρανσουά Βιέτ]], ο οποίος ήταν αυτός που τον είχε παροτρύνει να δουλέψει πάνω στο απολλώνιο πρόβλημα, ανέπτυξε μία μέθοδο που χρησιμοποιούσε μόνο κανόνα και διαβήτη.<ref name="viete_1970">{{cite book| author = Viète F. |author-link = François Viète| title = Francisci Vietae Opera mathematica | chapter = Apollonius Gallus. Seu, Exsuscitata Apolloni Pergæi Περι Επαφων Geometria| publication-date=1646|editor = Frans van Schooten| url = http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k107597d.r=.langEN|publisher = ex officina B. et A. Elzeviriorum (Lugduni Batavorum)|language = latin| pages = 325–346|year=1600}} {{la icon}}</ref> Πριν την λύση του Βιέτ, ο [[Ρεγκιομοντάνους]] (''Regiomontanus'') αμφέβαλε στο κατά πόσο ήταν δυνατό να λυθεί το πρόβλημα μόνο με κανόνα και διαβήτη.<ref name="boyer_1991_322">{{cite book| author = [[ΚαρλCarl ΜπέντζαμινBenjamin ΜπόγιερBoyer|Boyer CB]], Merzbach UC| year = 1991| title = A History of Mathematics| edition= 2nd| publisher = John Wiley & Sons, Inc.|isbn=0-471-54397-7| chapter = Apollonius of Perga| page = 322}}</ref> Ο Βιέτ έλυσε αρχικά το πρόβλημα για κάποιες απλές περιπτώσεις, όπως την εύρεση κύκλου που διέρχεται από τρία δεδομένα σημεία, το οποίο έχει μόνο μία λύση αν τα σημεία είναι διακριτά. Στην συνέχεια έλυσε μερικές πιο πολύπλοκες ειδικές περιπτώσεις, σε κάποιες περιπτώσεις μικραίνοντας ή μεγαλώνοντας τους δεδομένους κύκλους.<ref name="Dörrie 1965"/> Σύμφωνα με μία αναφορά του 4ου αιώνα από τον [[Πάππος|Πάππο]], το βιβλίο του Απολλώνιου για το πρόβλημα με τίτλο ''{{πολυτονικό|Ἐπαφαί}}'' ([[λατινική γλώσσα|λατ.]]: ''De tactionibus'', ''De contactibus'') ακολουθούσε παρόμοια προσέγγιση.<ref name="pappus"/> Έτσι η λύση του Βιέτ θεωρείται ως μία πιθανή ανακατασκευή αυτής του Απολλώνιου, ενώ έχουν προταθεί ανεξάρτητα και άλλες ανακατασκευές από τρεις διαφορετικούς συγγραφείς.<ref name="alt_reconstructions">[[Robert Simson|Simson R]] (1734) ''Mathematical Collection'', volume VII, p. 117.<br />{{cite book| author = Zeuthen HG| year = 1886| title = Die Lehre von den Kegelschnitten im Altertum| publisher = Unknown| location = Copenhagen| pages = 381–383}} {{de}}<br />{{cite book| author = [[T. L. Heath|Heath TL]]| title = A History of Greek Mathematics, Volume II: From Aristarchus to Diophantus| publisher = Clarendon Press| location = Oxford| pages = 181–185, 416–417}}</ref>

Αλγεβρικές λύσεις στο απολλώνιο πρόβλημα δόθηκαν για πρώτη φορά τον 17ο αιώνα από τον [[Ρενέ Ντεκάρτ]] και την [[Ελισάβετ της Βοημίας]], αν και αρκετά πολύπλοκες.<ref name="altshiller-court_1961" /> Πρακτικές αλγεβρικές μέθοδοι αναπτύχθηκαν στα τέλη του 18ου και τον 19ο αιώνα από αρκετούς μαθηματικούς όπως ο [[Λέοναρντ Όιλερ]],<ref>{{cite journal| author = [[ΛέοναρντLeonhard ΌιλερEuler|Euler L]]| year = 1790| title = Solutio facilis problematis, quo quaeritur circulus, qui datos tres circulos tangat| journal = Nova Acta Academiae Scientarum Imperialis Petropolitinae| volume = 6| pages = 95–101| url = http://www.math.dartmouth.edu/~euler/docs/originals/E648.pdf|format=PDF}} {{la icon}} Reprinted in Euler's ''Opera Omnia'', series 1, volume 26, pp. 270–275.</ref> ο [[Νίκολας Φους]],<ref name="altshiller-court_1961" /> [[Καρλ Φρίντριχ Γκάους]],<ref name="gauss_1810" >{{cite book| author = [[ΚαρλCarl ΦρίντριχFriedrich ΓκάουςGauss|Gauss CF]]| year = 1873| title = Werke, 4. Band| publisher = Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften| location = Göttingen| edition = reprinted in 1973 by Georg Olms Verlag (Hildesheim)| pages = 399–400| isbn = 3-487-04636-9}} {{de}}</ref> ο [[Λαζάρ Καρνό]],<ref name="carnot_1803a" >{{cite book| author = [[Lazare Carnot|Carnot L]]| year = 1801| title = De la corrélation dans les figures de géométrie| publisher = Unknown publisher| location = Paris| pages = No. 158–159}} {{fr icon}}<br />{{cite book| author = [[Lazare Carnot|Carnot L]]| year = 1803| title = Géométrie de position| publisher = Unknown publisher| location = Paris| pages = 390, §334}} {{fr icon}}</ref> και ο [[Αγκουστίν Λουί Κοσί]].<ref>{{cite journal| author = [[Augustin Louis Cauchy|Cauchy AL]]| month = July| year = 1806| title = Du cercle tangent à trois cercles donnés| journal = Correspondance sur l'École Polytechnique| volume = 1| issue = 6| pages = pp. 193–195}} {{fr icon}}</ref>

Ο [[Ισαάκ Νεύτων|Ισαάκ Νιούτον]] (1687) βελτίωσε την λύση του φαν Ρόομεν, έτσι ώστε τα κέντρα του κύκλου-λύση να βρίσκονται στην τομή μιας ευθείας και ενός κύκλου.<ref name="Newton_1687"/> Ο Νιούτον διατύπωσε το απολλώνιο πρόβλημα ως πρόβλημα [[τριπλευρισμός|τριπλευρισμού]] (''trilateration''), στον εντοπισμό θέσης του σημείου '''Ζ''' από τρία δεδομένα σημεία '''A''', '''B''' και '''C''', τέτοια ώστε οι αποστάσεις από το '''Z''' στα τρία δεδομένα σημεία να έχουν γνωστές τιμές. <ref name="Hoshen 1996"/> Αυτά τα τέσσερα σημεία αντιστοιχούν στο κέντρο του κύκλου-λύση ('''Z''') και στα κέντρα των δεδομένων κύκλων ('''A''', '''B''' and '''C''').

Αντί να επιλύσει για τις δύο υπερβολές, ο Νιούτον κατασκεύασε τις [[κωνικήκωνικές τομήτομές|διευθετούσες ευθείες]]. Για κάθε υπερβολή, ο λόγος των αποστάσεων από ένα σημείο '''Z''' προς μία εστία '''A''' και προς την διευθετούσα είναι μία σταθερά που καλείται [[εκκεντρότητα]]. Οι δύο διευθετούσες τέμνονται στο σημείο '''T''' και από τους δύο γνωστούς λόγους των αποστάσεών τους, ο Νιούτον κατασκεύασε μία ευθεία που περνά από το το '''Τ''' επί της οποίας πρέπει να βρίσκεται και το '''Z'''. Εντούτοις ο λόγος TZ/TA είναι επίσης γνωστός, έτσι το '''Z''' βρίσκεται επίσης σε ένα γνωστό κύκλο., αφού ο Απολλώνιος έδειξε ότι ένας κύκλος μπορεί να οριστεί ως το σύνολο των σημείων που έχουν ένα δεδομένο σταθερό λόγο αποστάσεων από δύο σταθερά σημεία. (Αυτός ο ορισμός είναι και η βάση των [[διπολικές συντεταγμένες|διπολικών συντεταγμένων]]) Έτσι οι λύσεις στο Απολλώνιο πρόβλημα είναι τα τομές ευθείας με κύκλο.

Ο Βιέτ ξεκίνησε με την επίλυση της περίπτωσης '''ΣΣΣ''' (τρία σημεία) ακολουθώντας την μέθοδο του [[Ευκλείδης|Ευκλείδη]] όπως περιγράφεται στα [[Στοιχεία]]. Από αυτό εξήγαγε ένα [[λήμμα (μαθηματικά)|λήμμα]] που αντιστοιχεί στο θεώρημα [[δύναμη σημείου|δύναμης σημείου]], το οποίο χρησιμοποίησε για να λύσει την περίπτωση '''ΕΣΣ''' (ευθεία και δύο σημεία). Ακολουθώντας την μέθοδο του Ευκλείδη έλυσε την περίπτωση '''ΕΕΕ''' (τρεις ευθείες) χρησιμοποιώντας τις [[διχοτόμος γωνίας|διχοτόμους]]. Από εκεί εξήγαγε ένα λήμμα για την κατασκευή καθέτου στην διχοτόμο που περνά από ένα σημείο, το οποίο χρησιμοποίησε για να λύσει την περίπτωση '''ΕΕΣ'''. Αυτέ είναι οι πρώτες τέσσερις περιπτώσεις του προβλήματος που δεν έχουν να κάνουν με κύκλους.

Οι δύο ρίζες οποιασδήποτε δευτεροβάθμιας εξίσωσης μπορεί να είναι τριών πιθανών τύπων: δύο διαφορετικοί [[πραγματικός αριθμός|πραγματικοί αριθμοί]], δύο όμοιοι πραγματικοί αριθμοί (δηλαδή μία εκφυλισμένη διπλή λύση) ή ένα ζεύγος [[Μιγαδικός αριθμός#Συζυγής μιγαδικός|συζυγών μιγαδικών]]. Η πρώτη περίπτωση αντιστοιχεί στην συνήθη περίπτωση, κάθε ζεύγος λύσεων αντιστοιχεί σε ένα ζεύγος λύσεων που έχουν σχέση με την [[Γεωμετρία της αντιστροφής|αντιστροφή του κύκλου]], όπως περιγράφεται παρακάτω (Σχήμα&nbsp;6). Στην δεύτερη περίπτωση, και οι δύο λύσεις είναι ταυτόσημες, και αντιστοιχούν σε ένα κύκλο που αν αντιστραφεί μετατρέπεται στον εαυτό του. Σε αυτή την περίπτωση ένας από τους δεδομένους κύκλους είναι ο ίδιος μία λύση στο απολλώνιο πρόβλημα, και έτσι ο αριθμός των λύσεων μειώνεται κατά ένα. Η τρίτη περίπτωση των συζυγών μιγαδικών ακτίνων δεν αντιστοιχεί σε κάποια γεωμετρικά πιθανή λύση, καθώς ένας κύκλος δεν μπορεί να έχει φανταστική ακτίνα. Έτσι ο αριθμός των λύσεων μειώνεται κατά δύο. Είναι ενδιαφέρον ότι το απολλώνιο πρόβλημα δεν μπορεί να έχει επτά λύσεις, ενώ μπορεί να έχει οποιονδήποτε άλλο αριθμό λύσεων από μηδέν έως οκτώ εν γένει.<ref name="pedoe_1970" >{{cite journal| author = [[Daniel Pedoe|Pedoe D]]| year = 1970| title = The missing seventh circle| journal = Elemente der Mathematik| volume = 25| pages = 14–15}}</ref><ref name="bruen_1983" />

Οποιοσδήποτε από τους κύκλους Soddy αν παρθεί μαζί με τους τρεις δοσμένους κύκλους παράγει ένα σύνολο κύκλων που είναι όλοι αμοιβαίως εφαπτόμενοι σε έξι σημεία. Οι ακτίνες αυτών των κύκλων σχετίζονται με μία εξίσωση που είναι γνωστή ως [[Θεώρημα του Καρτέσιου]]. Το 1643 σε ένα γράμμα του στην πριγκίπισσα [[Ελισάβετ της Βοημίας]]<ref>[[ΡενέRené ΝτεκάρτDescartes|Descartes R]], ''Œuvres de Descartes, Correspondance IV'', (C. Adam and P. Tannery, Eds.), Paris: Leopold Cert 1901. {{fr}}</ref> ο [[Ρενέ Ντεκάρτ|Καρτέσιος]] έδειξε ότι:

Λύνοντας το απολλώνιο πρόβλημα επαναληπτικά για την εύρεση των εγγεγραμμένων κύκλων, τα κενά μεταξύ των εφαπτόμενων κύκλων μπορούν να πληρωθούν αυθαίρετα, σχηματίζοντας το [[απολλώνιο έμβυσμα]], γνωστή και ως ''Leibniz packing'' ή ''Apollonian packing''.<ref>{{cite journal| author = Kasner E, Supnick F| year = 1943| title = The Apollonian packing of circles| journal = Proc. Natl. Acad. Sci. USA| volume = 29| pages = 378–384| doi = 10.1073/pnas.29.11.378| pmid = 16588629| month = Dec| issue = 11| issn = 0027-8424| url = http://www.pubmedcentral.nih.gov/articlerender.fcgi?tool=pubmed&pubmedid=16588629| format = Free full text}}</ref> Αυτό το έμβυσμα είναι [[φράκταλ]], όντας αυτοόμοιο και έχοντας [[διάσταση Hausdorff]] ''d'' η οποία δεν είναι μεν γνωστή με ακρίβεια αλλά είναι της τάξης του 1,3,,<ref name="boyd_1973">{{cite journal| author = Boyd DW| year = 1973| title = Improved Bounds for the Disk Packing Constants| journal = Aeq. Math.| volume = 9| pages = 99–106| doi = 10.1007/BF01838194}}<br />{{cite journal| author = Boyd DW| year = 1973| title = The Residual Set Dimension of the Apollonian Packing| journal = Mathematika| volume = 20| pages = 170–174}}<br />{{cite journal|last=McMullen|first= Curtis T|title= Hausdorff dimension and conformal dynamics III: Computation of dimension|url=http://abel.math.harvard.edu/~ctm/papers/home/text/papers/dimIII/dimIII.pdf|journal=American Journal of Mathematics|volume=120|year=1998|pages=691–721|format=PDF|doi=10.1353/ajm.1998.0031}}</ref> το οποίο είναι μεγαλύτερη από από μία [[κανονική καμπύλη|κανονική]] (ή πεπερασμένου μήκους) καμπύλη (''d'' = 1) αλλά μικρότερη από από αυτή του επιπέδου (''d'' = 2). Το απολλώνιο έμβυσμα περιγράφηκε για πρώτη φορά από τον [[Γκότφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς]] τον 17ο αιώνα, και είναι καμπύλος πρόδρομος του [[Τρίγωνο Sierpiński|τριγώνου Sierpiński]].<ref>{{cite book| author = [[ΜπενουάBenoit ΜάντελμπροτMandelbrot|Mandelbrot B]]| year = 1983| title = The Fractal Geometry of Nature| publisher = W. H. Freeman| location = New York| isbn = 978-0716711865| page = 170}}<br />{{cite book| author = Aste T, [[Denis Weaire|Weaire D]]| year = 2008| title = In Pursuit of Perfect Packing| edition = 2nd| publisher = Taylor and Francis| location = New York| isbn = 978-1420068177| pages = 131–138}}</ref> Το απολλώνιο έμβυσμα έχει στενούς δεσμούς με άλλα πεδία των μαθηματικών, για παράδειγμα, είναι το οριακό σύνολο των [[σύνολα Klein|συνόλων Klein]].<ref>{{cite book| author = [[David Mumford|Mumford D]], Series C, Wright D| year = 2002| title = Indra's Pearls: The Vision of Felix Klein| publisher = Cambridge University Press| location = Cambridge| isbn = 0-521-35253-3| pages = 196–223}}</ref>

Η επέκταση του απολλώνιου προβλήματος σε τρεις διαστάσεις, δηλαδή το πρόβλημα εύρεσης σφαίρας που να εφάπτεται σε τέσσερις δοσμένες σφαίρες, μπορεί να λυθεί με ανάλογες μεθόδους.<ref name="altshiller-court_1961" /> Για παράδειγμα, οι δοσμένες και η σφαίρα-λύση μπορούν να αλλάξουν μέγεθος έτσι ώστε μία δεδομένη σφαίρα να ελαττωθεί σε σημείο διατηρώντας τις επαφές όλων των σφαιρών.<ref name="ogilvy_1969" /> Η αντιστροφή σε αυτό το σημείο, μετασχηματίζει το πρόβλημα σε αυτό της εύρεσης ενός επιπέδου που να είναι εφαπτόμενο σε τρεις δοσμένες σφαίρες. Υπάρχουν εν γένει οκτώ τέτοια επίπεδα, τα οποία δίνουν τις λύσεις του αρχικού προβλήματος αναστρέφοντας την αντιστροφή και επαναφέροντας το μέγεθος. Το πρόβλημα αντιμετωπίστηκε πρώτη φορά από τον [[Πιέρ ντε Φερμά]],<ref>[[πιέρPierre ντεde ΦερμάFermat|de Fermat P]], ''Varia opera mathematica'', p. 74, Tolos, 1679.</ref> ενώ έχουν αναπτυχθεί διάφορες εναλλακτικές μέθοδοι ανά τους αιώνες.<ref name="fermat_problem_solutions" >{{cite journal| author = [[ΛέοναρντLeonhard ΌιλερEuler|Euler L]]| year = 1810| title = Solutio facilis problematis, quo quaeritur sphaera, quae datas quatuor sphaeras utcunque dispositas contingat| journal = Memoires de l'academie des sciences de St.-Petersbourg| volume = 2| pages = 17–28| url = http://www.math.dartmouth.edu/~euler/docs/originals/E733.pdf|format=PDF}} {{la icon}} Reprinted in Euler's ''Opera Omnia'', series 1, volume 26, pp. 334–343.<br />{{cite book| author = [[Lazare Carnot|Carnot L]]| year = 1803| title = Géométrie de position| publisher = Imprimerie de Crapelet, chez J. B. M. Duprat| location = Paris| pages = 357, §416}} {{fr icon}}<br />{{cite journal| author = [[Jean Nicolas Pierre Hachette|Hachette JNP]]| month = September| year = 1808| title = Sur le contact des sphères; sur la sphère tangente à quatre sphères données; sur le cercle tangent à trois cercles donnés| journal = Correspondance sur l'École Polytechnique| volume = 1| issue = 2| pages = pp. 27–28}} {{fr icon}}<br />{{cite journal| author = Français J| month = January| year = 1810| title = De la sphère tangente à quatre sphères données| journal = Correspondance sur l'École Impériale Polytechnique| volume = 2| issue = 2| pages = pp. 63–66}} {{fr icon}}<br />{{cite journal| author = Français J| month = January| year = 1813| title = Solution analytique du problème de la sphère tangente à quatre sphères données| journal = Correspondance sur l'École Impériale Polytechnique| volume = 2| issue = 5| pages = pp. 409–410}} {{fr icon}}<br />{{cite journal| author = [[Charles Dupin|Dupin C]]| month = January| year = 1813| title = Mémoire sur les sphères| journal = Correspondance sur l'École Impériale Polytechnique| volume = 2| issue = 5| pages = p. 423}} {{fr icon}}<br />{{cite book| author = Reye T| year = 1879| title = Synthetische Geometrie der Kugeln| publisher = B. G. Teubner| location = Leipzig| url = http://www.gutenberg.org/files/17153/17153-pdf.pdf|format=PDF}} {{de}}<br />{{cite journal| author = [[Joseph Alfred Serret|Serret JA]]| year = 1848| title = De la sphère tangente à quatre sphères donnèes| journal = Journal für die reine und angewandte Mathematik| volume = 37| pages = 51–57| url = http://www.digizeitschriften.de/index.php?id=loader&tx_jkDigiTools_pi1%5BIDDOC%5D=510729}} {{fr}}<br />{{cite journal| author = Coaklay GW| date = 1859–1860| title = Analytical Solutions of the Ten Problems in the Tangencies of Circles; and also of the Fifteen Problems in the Tangencies of Spheres| journal = The Mathematical Monthly| volume = 2| pages = 116–126}}<br />{{cite journal| author = [[Benjamin Alvord (mathematician)|Alvord B]]| year = 1882| title = The intersection of circles and intersection of spheres| journal = American Journal of Mathematics| volume = 5| pages = 25–44, with four pages of Figures| doi = 10.2307/2369532| issn = 00029327| month = Jan| day = 01| issue = 1}}<br /></ref>

Το απολλώνιο πρόβλημα μπορεί να επεκταθεί σε ''d'' διαστάσεις, ώστε να ζητείται η κατασκευή [[3-σφαίραυπερσφαίρα|υπερσφαιρών]] εφαπτόμενων σε ένα σύνολο {{nowrap|''d'' + 1}} υπερσφαιρών.<ref name="dreschler sterz"/> Μετά την δημοσίευση του ''[[Frederick Soddy]]'' μιας νέας απόδειξης του [[Θεώρημα του Καρτέσιου|θεωρήματος του Καρτέσιου]] το 1936, αρκετοί έλυσαν (ανεξάρτητα) την περίπτωση των αμοιβαίως εφαπτόμενων αντικειμένων που αντιστοιχεί στους κύκλους Soddy ''d'' διαστάσεων.<ref name="gossett_1937" >{{cite journal| author = Gossett T| year = 1937| title = The Kiss Precise| journal = [[Nature (journal)|Nature]]| volume = 139| pages = 62| doi = 10.1038/139062a0}}</ref>

Η κύρια εφαρμογή του απολλώνιου προβλήματος, όπως διατυπώθηκε από τον Ισαάκ Νιούτον, είναι ο [[υπερβολικός εντοπισμός θέσης|υπερβολικός τριπλευρισμός]], ο οποίος έχει στόχο τον καθορισμό της θέσεις από τις ''διαφορές'' αποστάσεων μεταξύ τουλάχιστον τριών σημείων.<ref name="Schmidt 1972">{{cite journal| author = Schmidt, RO| year = 1972| title = A new approach to geometry of range difference location| journal = IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems| volume = AES-8| pages = 821–835| doi = 10.1109/TAES.1972.309614}}</ref> Για παράδειγμα ένα πλοίο μπορεί να ζητά να καθορίσει την θέση του από τις διαφορές στον χρόνο άφιξης σημάτων από τρεις συγχρονισμένους μεταδότες. Λύσεις του απολλώνιου προβλήματος χρησιμοποιήθηκαν στον [[Α΄Πρώτος Παγκόσμιος Πόλεμος|Α' Παγκόσμιο Πόλεμο]] για να καθοριστεί η θέσει ενός στοιχείου πυροβολικού από τον χρόνο που χρειάστηκε για να ακουστεί μια βολή σε τρεις διαφορετικές θέσεις,<ref name="altshiller-court_1961" /> ενώ ο υπερβολικό τριπλευρισμός είναι η αρχή που χρησιμοποιούν το [[Σύστημα πλοήγησης Decca]] και το [[Συσκευή Λοράν|LORAN]].<ref name="Hofmann-Wellenhof">{{cite book|title=Navigation: Principles of Positioning and Guidance|author=Hofmann-Wellenhof B, Legat K, Wieser M, Lichtenegger H|publisher= Springer|year= 2003|isbn=978-3211008287}}</ref> Παρομοίως η θέση ενός αεροσκάφους μπορεί να καθοριστεί από τις διαφορές στον χρόνο άφιξης του σήματος του [[αναμεταδότης (αεροπορία)|αναμεταδότη]] του σε τέσσερις σταθμούς λήψης. Αυτό το πρόβλημα [[πολυπλευρισμός|πολυπλευρισμού]] είναι ανάλογο με την γενίκευση του απολλώνιου προβλήματος σε τρεις διαστάσεις και έχει εφαρμογές σε [[GNSS|παγκόσμιου εντοπισμού θέσης]] όπως το [[Global Positioning System|GPS]].<ref name="Hoshen 1996" >{{cite journal| author = Hoshen J| year = 1996| title = The GPS Equations and the Problem of Apollonius| journal = IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems| volume = 32| pages = 1116–1124| doi = 10.1109/7.532270}}</ref> Χρησιμοποιείται ακόμα για τον καθορισμό της θέσης ζώων (πουλιά και φάλαινες) αν και δεν λαμβάνεται υπόψη στο πρόβλημα το γεγονός της διαφοράς στην [[ταχύτητα του ήχου]] ανάλογα με την διεύθυνση (το μέσο διάδοσης δεν είναι ισότροπο).<ref name="spiesberger_2004">{{cite journal| author = Spiesberger, JL| year = 2004| title = Geometry of locating sounds from differences in travel time: Isodiachrons| journal = The Journal of the Acoustic Society of America| volume = 116| pages =3168–3177| doi = 10.1121/1.1804625}}</ref>