Άτλας (τοπολογία): Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
||
Γραμμή 5:
τότε ο άτλας έχει την κοινή του έννοια. Σε γενικές γραμμές,
η έννοια του άτλα αποτελεί τη βάση για τον επίσημο ορισμό της [[πολλαπλότητας]].
==Επίσημος ορισμός του άτλα==▼
Ένας άτλας σε έναν τοπολογικό χώρο ''M'' είναι μια συλλογή <math> \{(U_{\alpha}, \varphi_{\alpha})\}</math> χαρτών στο ''M'' έτσι ώστε ▼
<math> \bigcup U_{\alpha} = M</math>. Αν η εικόνα του άτλα είναι ο ν-διάστατος Ευκλείδειος χώρος, τότε ο χώρος ''M'' λέγεται ν-διάστατη πολλαπότητα.▼
==Ισοδυναμία ατλάντων==
Γραμμή 15 ⟶ 20 :
Ένας '''χάρτης''' για έναν τοπολογικό χώρο ''M'' είναι ένας ομοιομορφισμός <math>\varphi</math> από ένα [[open_set|ανοιχτό υποσύνολο]] ''U'' του ''M'' σε ένα ανοιχτό υποσύνολο του Ευκλείδειου χώρου. Ο χάρτης γράφεται ως το διατεταγμένος ζεύγος <math> (U, \varphi)</math> , ώπου το σύνολο U ονομάζεται πεδίο του χάρτη.
▲==Επίσημος ορισμός του άτλα==
▲Ένας άτλας σε έναν τοπολογικό χώρο ''M'' είναι μια συλλογή <math> \{(U_{\alpha}, \varphi_{\alpha})\}</math> χαρτών στο ''M'' έτσι ώστε
▲<math> \bigcup U_{\alpha} = M</math>. Αν η εικόνα του άτλα είναι ο ν-διάστατος Ευκλείδειος χώρος, τότε ο χώρος ''M'' λέγεται ν-διάστατη πολλαπότητα.
==Χάρτες μετάβασης==
Γραμμή 36 ⟶ 37 :
Συχνά είναι επιθυμητή περισσότερη δομή σε μία πολλαπλότητα από την τοπολογική δομή. Για παράδειγμα αν κάποιος ήθελε μια σαφή έννοια της διαφόρισης συναρήσεων σε μία πολλαπλότητα, θα ήταν απαραίτητο να κατασκευαστεί ένας άτλας του οποίου οι συναρτήσεις μετάβασης θα είναι διαφορίσιμες. Τότε μπορεί να οριστεί σαφώς η έννοια του εφαπτομένου διανύσματος και στη συνέχεια της κατευθυνόμενης παραγώγου.
Αν κάθε συνάρτηση μετάβασης είναι λεία
| |||