Τοπολογική πολλαπλότητα: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
μΧωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
||
Γραμμή 4:
β) Ο V είναι συναφής, γ) Σε κάθε σημείο P του V υπάρχει υπάρχει ένα ανοιχτό σύνολο που περιέχει το σημείο αυτό που είναι ομοιόμορφο προς ένα ανοικτό σύνολο του <math>\mathbb{R}^n</math>. Ιστορικά μια από τις αιτίες για την μελέτη των πολλαπλοτήτων στάθηκε η γενική θεωρία της σχετικότητας του [[Άλμπερτ Αϊνστάιν]], όπου ο τετραδιάστατος [[Χωροχρόνος|χωροχρόνος]], λόγω της αρχής της ισοδυναμίας, αποτελεί πολλαπλότητα διάστασης 4, αλλά και η μελέτη δυναμικών συστημάτων και η αναλυτική μηχανική.
==Διάσταση==
Παράδειγμα: ο χώρος <math>\mathbb{R}^n</math> είναι τοπολογική πολλαπλότητα διάστασης n, διότι σε κάθε σημείο του P υπάρχει ανοιχτό σύνολο που περιέχει το P και είναι ομοιόμορφο προς τον εαυτό του.▼
Η διάσταση της πολλαπλήτητας είναι μια τοπολογική ιδιότητα, που σημαίνει ότι οποιαδήποτε πολλαπλότητα που είναι ομοιόμορφη με μια n-πολλαπλότητα έχει επίσης διάσταση n. Όπως προκύπτει από την αναλλοίωτη μια n-πολλαπλότητα δεν μπορεί να είναι ομοιόμορφη με μια m-πολλαπλότητα για ''n'' ≠ ''m''.
Μια πολλαπλότητα διάστασης 1 συχνά καλείται καμπύλη, ενώ μια πολλαπότητα διάστασης 2 ονομάζεται επιφάνεια. Πολλαπλότητες μεγαλύτερης διάστασης συνήθως ονομάζονται n-πολλαπλότητες.
==Χώρος Hausdorff==
Ένας τοπολογικός χώρος λέγεται αν για κάθε x,y που ανηκουν στο Α με x <math>\neq</math> y υπάρχει ε>0 τέτοιο ώστε
: {{nowrap|1=''B(x,ε)'' ∩ ''B(y,ε)'' = ∅.}}
==Παραδείγματα==
▲
* Οποιοδήποτε διακριτός χώρος είναι μια 0-πολλαπλότητα.
* Ο κύκλος είναι μια 1-πολλαπλότητα.
* Ο τόρος είναι μια 2-πολλαπλότητα.
* Η ''n''-διάστατη σφαίρα ''S''<sup>''n''</sup> είναι μια συμπαγή ''n''-πολλαπλότητα.
* Ο ''n''-διάστατος τόρος '''T'''<sup>''n''</sup> (το γινόμενο ''n'' κύκλων) είναι μια συμπαγή ''n''-πολλαπλότητα.
* Οι χώροι Lens είναι μια κατηγορία πολλαπλοτήτων που είναι πηλίκα σφαιρών που έχουν μονές διαστάσεις.
* Οι ομάδες Lie είναι πολλαπλότητες προικισμένες με μια δομή ομάδας.
* Κάθε ανοιχτό υποσύνολο μιας ''n''-πολλαπλότητας είναι μια n-πολλαπλότητα.
* Αν ''M'' είναι μια ''m''-πολλαπλότητα και ''N'' είναι μια ''n''-πολλαπλότητα, το γινόμενο ''M'' × ''N'' είναι μια (''m''+''n'')-πολλαπλότητα.
* Η ένωση μιας οικογένειας ''n''-πολλαπλοτήτων είναι μια ''n''-πολλαπλότητα (τα κομμάτια πρέπει να έχουν όλα την ίδια διάσταση).
==Διαφορίσιμη πολλαπλότητα==
Γραμμή 27 ⟶ 45 :
* [[Τοπολογικός Χώρος|Τοπολογικός χώρος]]
* [[Άτλας (τοπολογία)|Άτλας]]
==Αναφορές (στα Αγγλικά)==
*Gauld, D. B. (1974). "Topological Properties of Manifolds". The American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America) 81 (6): 633–636. doi:10.2307/2319220. JSTOR 2319220.
*Kirby, Robion C.; Siebenmann, Laurence C. (1977). Foundational Essays on Topological Manifolds. Smoothings, and Triangulations. Princeton: Princeton University Press. ISBN 0-691-08191-3.
*Lee, John M. (2000). Introduction to Topological Manifolds. Graduate Texts in Mathematics 202. New York: Springer. ISBN 0-387-98759-2.
==Βιβλιογραφία==
| |||