Πραγματικός αριθμός: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

μ
Διόρθωση συντακτικών λαθών με τη χρήση AWB
μ (r2.7.1) (Ρομπότ: Τροποποίηση: eo:Reelo)
μ (Διόρθωση συντακτικών λαθών με τη χρήση AWB)
Στα [[μαθηματικά]], οι '''πραγματικοί αριθμοί''' γίνονται αντιληπτοί διαισθητικά ως το [[σύνολο]] όλων των αριθμών που είναι σε [[ένα προς ένα αντιστοιχία]] με τα [[σημείο|σημεία]] μιας άπειρης [[ευθεία|ευθείας]]ς, που καλείται ''ευθεία των πραγματικών αριθμών'' ή ''πραγματικός άξονας''. Ο όρος "πραγματικός αριθμός" πλάστηκε εκ των υστέρων σε αντιδιαστολή προς τους "[[φανταστικός αριθμός|φανταστικούς αριθμούς]]", των οποίων η ένωση με τους πραγματικούς δίνει τους [[μιγαδικοί αριθμοί|μιγαδικούς]]. Οι πραγματικοί αριθμοί είναι το κεντρικό αντικείμενο μελέτης της [[πραγματική ανάλυση|πραγματικής ανάλυσης]]. Σε αυστηρή μαθηματική γλώσσα, ο πραγματικός αριθμός ορίζεται ως εξής:
 
Άν για τον αριθμό L ισχύει <math>\lim_{n \to \infty}a_n = L </math> , όπου a<sub>n</sub> μια ρητή προσέγγιση του L με n δεκαδικά ψηφία, τότε ο L είναι πραγματικός αριθμός. Αυτό σημαίνει ότι πραγματικός είναι ο αριθμός του οποίου μπορούμε να γράψουμε μια δεκαδική προσέγγιση, όπως στον αριθμό [[αριθμός π|π]]~3,14.
Ονομάζουμε σύνολο των πραγματικών αριθμών ένα σύνολο <math>\R</math> το οποίο ικανοποιά τα παρακάτω τρία αξιώματα:
* Το σύνολο <math>\R</math> αποτελεί [[Σώμα (άλγεβρα)|σώμα]]. Αναλυτικά:
** Για όλα τα x, y, και z στο <math>\R</math>, ισχύει x + (y + z) = (x + y) + z and x(yz) = (xy)z.
** Για όλα τα x και y στο <math>\R</math>, x + y = y + x και xy = yx.
** Για όλα τα x, y, και z στο <math>\R</math>, ισχύει x(y + z) = (xy) + (xz).
** Για όλα τα x στο <math>\R</math>, υπάρχει ένα στοιχείο 0, τέτοιο ώστε x + 0 = x = 0 + x και ένα στοιχείο 1 <math>\neq</math> 0, τέτοιο ώστε x1 = x = 1x.
Δύο ακολουθίες Κωσύ (α<sub>ν</sub>) και (β<sub>ν</sub>) είναι ισοδύναμες [[ανν]] η διαφορά τους τείνει στο μηδέν, δηλαδή ανν για κάθε ρητό ε>0 υπάρχει φυσικός Ν, τέτοιος ώστε |α<sub>ν</sub> - β<sub>ν</sub>|<ε για κάθε ν>Ν.
To <math>\R</math> κατασκευάζεται από το σύνολο των κλάσεων ισοδυναμίας.
 
 
== Η ευθεία των πραγματικών αριθμών ==
Στον πραγματικό άξονα, αυτό σημαίνει ότι αν επιλέξουμε δύο σημεία α και β πάνω του, τότε ή το α είναι αριστερά του β ή το α θα συμπέσει με το β ή το α θα είναι δεξιά του β. Η πρόταση αυτή ακούγεται προφανής.
 
[[Αρχείο:Recta Recta_real_entero_o_decimal_exactoreal entero o decimal exacto.png|right]]Η ευθεία των πραγματικών αριθμών δεν διακόπτεται και πουθενά δεν έχει κενά. Αντίστοιχα, το [[σύνολο]] των πραγματικών αριθμών είναι τόσο πυκνό που πάντα μεταξύ δύο πραγματικών αριθμών, όσο μικρή [[Απόσταση (γεωμετρία)|απόσταση]] κι αν έχουν μεταξύ τους, θα υπάρχει τουλάχιστον ακόμη ένας.
 
 
== Πληθάριθμος ==
Ο [[πληθάριθμος]] του <math>\R</math> συμβολίζεται με τον ''πληθάριθμο του συνεχούς'' <math>\mathfrak c</math>.
Σύμφωνα με την ''υπόθεση του συνεχούς'' του [[Γκέοργκ Καντόρ|Καντόρ]], ότι δεν υπάρχει σύνολο με πληθάριθμο μεταξύ αυτου των φυσικών και αυτού των πραγματικών αριθμών, ο πληθάριθμος του συνεχούς είναι ίσος με <math>\aleph_1</math> (άλεφ-ένα).
 
 
== Τοπολογικές ιδιότητες ==
 
{{Link FA|sl}}
 
[[ar:عدد حقيقي]]
[[az:Həqiqi ədədlər]]
30.886

επεξεργασίες