Απόσταση (γεωμετρία): Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Τυπικά η απόσταση ορίζεται ως απόσταση μεταξύ δύο σημείων. Σε όλες τις παραπάνω περιπτώσεις αυτό ειναι που υπολογίζεται.

 

Δες επίσης:[[Μετρική (μαθηματικά)]]

 

Στην βασική [[Γεωμετρία]] η απόσταση μεταξύ δύο σημείων (''x''₁) και (''x''₂) είναι το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος που τα συνδέει:

 

Στη μελέτη πολύπλοκων γεωμετριών, καλούμε αυτόν τον τύπο της απόστασης Ευκλείδεια απόσταση, δεδομένου ότι προέρχεται από το Πυθαγόρειο θεώρημα, και ο οποίος δεν ισχύει σε μη Ευκλείδεια γεωμετρία.

 

Στον Ευκλείδειο χώρο '''R'''ⁿ η απόσταση μεταξύ δύο σημείων δίνεται συνήθως από την Ευκλείδεια απόσταση (2-νόρμική απόσταση d_2).

Από ένα σημείο (''x''₁, ''x''₂, ...,''x''_''n'') και ένα σημείο (''y''₁, ''y''₂, ...,''y''_''n''), η '''Απόσταση Minkowski ''' τάξης p (p-νορμική απόσταση) ορίζεται ως:

Η Ευκλείδεια απόσταση μεταξύ δύο σημείων στο χώρο (και) μπορεί να γραφτεί σε μια Μεταβολική μορφή όπου η απόσταση είναι η ελάχιστη αξία της αναπόσπαστο:

 

Η [[Ευκλείδεια απόσταση]] μεταξύ δύο σημείων στο χώρο (<math>A = \vec{r}(0)</math> and <math>B = \vec{r}(T)</math>) μπορεί να γραφεί σαν μια [[μεταβολική]] μορφή,όπου η απόσταση είναι η ελάχιστη τιμή του ολοκληρώματος:

 

Εδώ ο <math>\vec{r}(t)</math> είναι η τροχιά (διαδρομή) μεταξύ των δύο σημείων. Η τιμή του ολοκληρώματος (D) αντιπροσωπεύει το μήκος αυτής της τροχιάς. Η απόσταση είναι η ελάχιστη αξία αυτού του ολοκληρώματος και επιτυγχάνεται όταν <math>r = r^{*}</math>,όπου το <math>r^{*}</math> είναι η βέλτιστη τροχιά. Στην γνωστή Ευκλείδεια περίπτωση (το παραπάνω ολοκλήρωμα),η βέλτιστη διαδρομή είναι απλά μια ευθεία γραμμή. Είναι γνωστό ότι η συντομότερη διαδρομή μεταξύ δύο σημείων είναι μια ευθεία γραμμή.Οι ευθείες γραμμές μπορούν τυπικά να ληφθούν με την επίλυση των [[Εξίσωση Όιλερ-Λαγκράνζ|εξισώσεων Euler-Lagrange]], για την παραπάνω λειτουργία. Σε μη-Ευκλείδειες περιπτώσεις (κυρτοί χώροι), όπου η φύση του χώρου αντιπροσωπεύεται από μια [[μετρική(μαθηματικά)|μετρική]] <math>g_{ab}</math> το ολοκλήρωμα πρέπει να τροποποιηθεί σε <math>\sqrt{g^{ac}\dot{r}_c g_{ab}\dot{r}^b}</math>, όπου έχει χρησιμοποιηθεί η [[σύμβαση άθροισης του Αινστάιν]].

 

Η Ευκλείδεια απόσταση μεταξύ δύο αντικειμένων μπορεί επίσης να γενικευθεί σε περίπτωση που τα αντικείμενα δεν είναι πλέον σημεία, αλλά είναι υψηλότερων διαστάσεων [[πολλαπλότητες]], όπως καμπύλες, έτσι ώστε εκτός από το να μιλάμε για απόσταση μεταξύ δύο σημείων μπορεί να συζητήσει κάποιος έννοιες της απόστασης μεταξύ δύο συμβολοσειρών. Δεδομένου ότι τα νέα αντικείμενα που εξετάζονται είναι εκτεταμένα αντικείμενα (όχι πια σημεία) πρόσθετες έννοιες, όπως η μη-επεκτασιμότητα, περιορισμοί [[καμπυλότητα]]ς και μη τοπικές αλληλεπιδράσεις που επιβάλουν τη μη διέλευση να γίνουν επίκεντρο στην έννοια της απόστασης. Η απόσταση μεταξύ των δύο πολλαπλοτήτων είναι το βαθμωτό μέγεθος που προκύπτει από την ελαχιστοποίηση της γενικευμένης λειτουργικής απόστασης, η οποία αντιπροσωπεύει μια μετατροπή μεταξύ των δύο πολλαπλοτήτων:

 

Το παραπάνω διπλό ολοκλήρωμα είναι η γενικευμένη λειτουργική απόσταση μεταξύ δύο μετατροπών plymer. Το <math>s</math> είναι η παράμετρος του χώρου και η <math>t</math> είναι ο ψευδο-χρόνος. Αυτό σημαίνει ότι το <math>\vec{r}(s,t=t_i)</math> είναι η πολυμερής / συμβολοσειρά μετατροπή τη στιγμή <math>t_i</math> και παραμετροποιείται σε όλο το μήκος της συμβολοσειράς από το <math> s</math>. Ομοίως,το <math>\vec{r}(s=S,t)</math> είναι η πορεία από ένα απειροελάχιστο τμήμα της συμβολοσειράς κατά τη μετατροπή <math>\vec{r}(s,0)</math> στην μετατροπή <math>\vec{r}(s,T)</math>.Ο όρος με τον συμπαράγοντα λ είναι ένας [[πολλαπλασιαστής Lagrange]] και ο ρόλος του είναι να διασφαλίσει ότι το μήκος του πολυμερούς παραμένει το ίδιο κατά τη διάρκεια του μετασχηματισμού. Εάν δύο διακριτά πολυμερή είναι μη επεκτάσιμα,τότε η ελάχιστη απόσταση-μετασχηματισμού μεταξύ τους δεν περιλαμβάνει πλέον μια καθαρά ευθεία κίνηση, ακόμα και με μια Ευκλείδεια μετρική. Υπάρχει μια πιθανή εφαρμογή της εν λόγω γενικευμένης απόστασης από το πρόβλημα της [[protein folding|αναδίπλωσης των πρωτεϊνών]]<ref>SS Plotkin, PNAS.2007; 104: 14899–14904,</ref><ref>AR Mohazab, SS Plotkin,"Minimal Folding Pathways for Coarse-Grained Biopolymer Fragments" Biophysical Journal, Volume 95, Issue 12, Pages 5496–5507</ref>. Αυτή η γενικευμένη απόσταση είναι ανάλογη με την [[Nambu-Goto action|Nambu-Goto δράση]] στη [[θεωρία συμβολοσειρών]], ωστόσο, δεν υπάρχει ακριβής αντιστοιχία, επειδή η Ευκλείδεια απόσταση σε 3διάστατο-χώρο είναι ισότιμη με την απόσταση του χωροχρόνου όταν ελαχιστοποιείται για την κλασική σχετικιστική συμβολοσειρά.

 

Η '''αλγεβρική απόσταση''' είναι μια μετρική που χρησιμοποιείται συχνά στην [[όραση υπολογιστών]],

η οποία μπορεί να ελαχιστοποιηθεί με την εκτίμηση των [[ελάχιστα τετράγωνα|ελάχιστων τετραγώνων]].

Για τις καμπύλες ή τις επιφάνειες που δίνονται από την εξίσωση <math>x^T C x=0</math> (όπως σε μια [[κωνική με ομογενείς συντεταγμένες]]), η αλγεβρική απόσταση από το σημείο <math>x'</math> στην καμπύλη είναι απλώς <math>x'^T C x'</math>. Μπορεί να χρησιμεύσει ως "αρχική υπόθεση" για τη γεωμετρική απόσταση,ώστε να βελτιώσει τις εκτιμήσεις της καμπύλης με πιο ακριβείς μεθόδους, όπως η μη-γραμμική ελαχίστων τετραγώνων.

 

Στα [[μαθηματικά]], ειδικότερα στη [[γεωμετρία]], η απόσταση σε μια συγκεκριμένη σειρά Μ είναι μια συνάρτηση

d: ''M''×''M''&nbsp;→&nbsp;'''R''',όπου το R συμβολίζει το σύνολο των [[πραγματικοί αριθμοί|πραγματικών αριθμών]], που πληροί τις ακόλουθες προϋποθέσεις:

Για παράδειγμα, ο συνήθης ορισμός της απόστασης μεταξύ δύο πραγματικών αριθμών ''x'' και ''y'' είναι: ''d''(''x'',''y'') = |''x'' − ''y''|. Ο ορισμός αυτός πληροί τις τρεις ανωτέρω προϋποθέσεις, και αντιστοιχεί με το πρότυπο της πραγματικής γραμμής στην [[τοπολογία]]. Όμως, η απόσταση σε ένα δεδομένο σύνολο είναι μια ορισμένη επιλογή. Μια άλλη πιθανή επιλογή είναι να καθορίσει: ''d''(''x'',''y'') = 0 if ''x'' = ''y'', και 1 διαφορετικά. Αυτή ορίζει επίσης μια μετρική, αλλά δίνει μια εντελώς διαφορετική τοπολογία, τη [[διακριτή τοπολογία]]; Με τον ορισμό αυτό οι αριθμοί δεν μπορούν να είναι αυθαίρετα κοντά.

 

[[File:Distance between sets.svg‎|thumb|

''d''(''A'',&nbsp;''B'')&nbsp;>&nbsp;''d''(''A'',&nbsp;''C'')&nbsp;+&nbsp;''d''(''C'',&nbsp;''B'')]]

Όσον αφορά αυτό, ο ορισμός της απόστασης Hausdorff μπορεί να απλοποιηθεί:είναι η μεγαλύτερη από τα δύο τιμές, η μία είναι η supremum ,για ένα σημείο που κυμαίνεται πάνω από ένα σύνολο,της απόσταση μεταξύ του σημείου και του συνόλου, και η άλλη τιμή ορίζεται ομοίως,αλλά με τους ρόλους των δύο συνόλων που ανταλλάχθηκαν.

 

Στη θεωρία γραφημάτων, η απόσταση μεταξύ δύο κόμβων είναι το μήκος του συντομότερου μονοπατιού μεταξύ των κορυφών.

 

*[[E-statistic]]s, ή energy statistics, είναι λειτουργίες αποστάσεων μεταξύ στατιστικών παρατηρήσεων.

*[[Mahalanobis distance]] χρησιμοποιείται στην [[στατιστική]].

*[[Chebyshev distance]]

*[[Canberra distance]]

 

<references/>

*{{citation|last1=Deza|first1=E.|first2=M.|last2=Deza|author2-link=Michel Deza|title=Dictionary of Distances|year=2006|publisher=Elsevier|isbn=0444520872}}.

[[es:Distancia]]

[[et:Kaugus]]

[[fa:فاصله]]

[[fi:Välimatka]]