Παραγοντοποίηση: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

|msc2010= 11A51

}}

 

'''Παραγοντοποίηση''' είναι στα [[μαθηματικά]] η διαδικασία κατά την οποία μια [[αλγεβρική παράσταση]] μετατρέπεται από άθροισμα σε [[γινόμενο]]. Οι όροι που συμμετέχουν στο γινόμενο ονομάζονται '''παράγοντες''' και όταν πολλαπλασιαστούν μαζί δίνουν την αρχική παράσταση. Η αντίστροφη διαδικασία ονομάζεται '''ανάλυση'''. Συνήθως η παραγοντοποίηση χρησιμοποιείται για την εύρεση του Μ.Κ.Δ. και του Ε.Κ.Π. πολυωνύμων,για την απλοποίηση κλασματικών παραστάσεων,για την πρόσθεση και αφαίρεση κλασματικών παραστάσεων και για την επίλυση εξισώσεων δευτέρου ή ανώτερου βαθμού. Υπάρχουν δύο βασικά είδη παραγοντοποίησης, η ''παραγοντοποίηση [[φυσικός αριθμός|φυσικών αριθμών]] (σε [[πρώτος αριθμός|πρώτους παράγοντες]])'' και η ''παραγοντοποίηση [[πολυώνυμο|πολυωνύμων]]''.

 

Η παραγοντοποίηση πολυωνύμων αφορά τη γραφή ενός πολυωνύμου ως γινόμενο άλλων πολυωνύμων, και συγκεκριμένα πολυωνύμων με τις μικρότερες δυνατές τάξεις.

 

===Τετραγωνικά Πολυώνυμα===

\end{align}

</math>

 

Τα τετραγωνικά πολυώνυμα με ακέραιους συντελεστές μπορούν μερικές φορές να υπολογιστούν με την χρήση ''των τύπων του Βιετά''. Δηλαδή ο τύπος <math>\alpha x^2+\beta x+\gamma,\,\!</math>

: <math>mn = \alpha,\ pq = \gamma\,\!</math>

και

 

====Πολυώνυμα Τέλειου Τετραγώνου====

\end{align}

</math>

 

===Παραγοντοποίση άλλων πολυωνύμων===

:<math> x^{n-1} + x^{n-2} + \ldots + x + 1 = \frac{x^n -1}{x-1}, </math>

και πολλαπλασιάζοντας με τον παράγοντα του (''x''&nbsp;&minus;&nbsp;1) βρίσκουμε το επιθυμητό αποτέλεσμα. Για να δώσουμε έναν γενικό τύπο όπως στα προηγούμενα, μπορούμε να αντικαταστήσουμε το ''x'' με το ''α/β'' και πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέρη με το ''β''<sup>n</sub>. Αυτό δίνει τον γενικό τύπο της διαφοράς δύο n-οστών δυνάμεων ως:

Το αντίστοιχο άθροισμα δύο ν-οστών δυνάμεων εξαρτάται από αν ο ''n'' είναι άρτιος ή περιττός.

Αν ο ''n'' είναι περιττός, τότε το ''β'' μπορεί να αντικατασταθεί με το ''-β'' στον παραπάνω τύπο, ώστε να δώσει:

:<math> \alpha^n + \beta^n = (\alpha+\beta)(\alpha^{n-1} - \beta\alpha^{n-2} + \beta^2 \alpha^{n-3} - \ldots - \beta^{n-2} \alpha + \beta^{n-1} ).\!</math>

An o ''n'' είναι άρτιος ο τύπος είναι πιο περίπλοκος.

 

==Πηγές==

* [http://en.wikipedia.org/wiki/Factorization Factorization,Wikipedia]

* [http://62gym-athin.att.sch.gr/algeb_c_k1/1_6.pdf Παραγοντοποίηση αλγεβρικών παραστάσεων]

 

[[Κατηγορία:Αριθμητική]]

[[Κατηγορία:Μαθηματική ανάλυση]]

 

[[ar:تحليل (رياضيات)]]