Λογάριθμος: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Ανάμεσα σε όλες τις επιλογές για την βάση ''b'', τρεις είναι ιδιαίτερα κοινές. Αυτές είναι ''b''&nbsp;=&nbsp;10, ''b''&nbsp;=&nbsp;[[Αριθμός e (μαθηματικά)|''e'']] (η [[άρρητος αριθμός|άρρητη]] μαθηματική σταθερά ≈ 2.71828), και ''b''&nbsp;=&nbsp;2. Στη [[μαθηματική ανάλυση]], ο λογάριθμος με βάση το ''e'' είναι διαδεδομένος εξαιτίας των ιδιαίτερων αναλυτικών ιδιοτήτων του που εξηγούνται παρακάτω. Από την άλλη, οι λογάριθμοι με βάση το 10 είναι εύκολοι στη χρήση για υπολογισμούς στο χέρι στο [[δεκαδικό σύστημα]]:<ref>{{Citation|last1=Downing|first1=Douglas|title=Algebra the Easy Way|series=Barron's Educational Series|location=Hauppauge, N.Y.|publisher=Barron's|isbn=978-0-7641-1972-9|year=2003|ref = harv}}, κεφάλαιο 17, σ. 275</ref>

:<math>\log_{10}(10 x) = \log_{10}(10) + \log_{10}(x) = 1 + \log_{10}(x).\ </math>

 

Στον ακόλουθο πίνακα φαίνονται κοινοί συμβολισμοί για τους λογάριθμους ως προς αυτές τις βάσεις και τα πεδία στα οποία χρησιμοποιούνται. Σε πολλά γνωστικά πεδία γράφεται log(''x'') αντί για log_''b''(''x''), όταν η βάση μπορεί να προσδιοριστεί από τα συμπεριεχόμενα. Εμφανίζεται επίσης ο συμβολισμός ^''b''log(''x'').<ref>{{de}} {{Citation| url=http://www.mathe-online.at/mathint/lexikon/l.html|author1=Franz Embacher|author2=Petra Oberhuemer|title=Mathematisches Lexikon|publisher=mathe online: für Schule, Fachhochschule, Universität unde Selbststudium|accessdate=22/03/2011}}</ref> Η στήλη «συμβολισμός ISO» έχει τους συμβολισμούς που προτείνονται από τον [[Διεθνής Οργανισμός Τυποποίησης|Διεθνή Οργανισμό Τυποποίησης]] ([[ISO 31-11]]).<ref>{{Citation| title = Guide for the Use of the International System of Units (SI)|author = B. N. Taylor|publisher = US Department of Commerce|year = 1995|url = http://physics.nist.gov/Pubs/SP811/sec10.html#10.1.2}}</ref>

{{Citation|last1=Maor|first1=Eli|title=E: The Story of a Number|publisher=Princeton University Press|isbn=978-0-691-14134-3|year=2009|ref=harv}}, ενότητα 2</ref>

 

 

Το 1647 ο ''[[Grégoire de Saint-Vincent]]'' συσχέτισε τους λογάριθμους με τον τετραγωνισμό της υπερβολής, επισημαίνοντας ότι η επιφάνεια ''f''(''t'') κάτω από την υπερβολή από {{nowrap|''x'' {{=}} 1}} to {{nowrap|''x'' {{=}} ''t''}} ικανοποιεί την σχέση

 

=== Παράγωγος και αντιπαράγωγος ===

Οι αναλυτικές ιδιότητες των συναρτήσεων κληροδοτούνται στις αντίστροφές τους.<ref name=LangIII.3 /> Έτσι, καθώς η {{nowrap begin}}''f''(''x'') = ''b''^''x''{{nowrap end}} είναι συνεχής και [[παραγωγίσιμη συνάρτηση]], έτσι είναι και η log_''b''(''y''). Χοντρικά, μία συνεχής συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη αν η γραφική της παράσταση δεν έχει «γωνίες». Επιπροσθέτως, καθώς η [[παράγωγος]] της ''f''(''x'') ισούται με ln(''b'')''b''^''x'' σύμφωνα με τις ιδιότητες της [[εκθετική συνάρτηση|εκθετικής συνάρτησης]], σύμφωνα με τον [[Παράγωγος#Κανόνες παραγώγισης|κανόνα παραγώγισης σύνθετης συνάρτησης]] η παράγωγος του log_''b''(''x'') δίνεται από τον τύπο<ref name=LangIV.2>{{harvnb|Lang|1997 |nb=yes|loc=ενότητα IV.2}}</ref><ref>{{Citation|title=Wolfram Alpha|author=Wolfram Research|accessdate=15/03/2011|url=http://www.wolframalpha.com/input/?i=d/dx(Log(b,x))}}</ref>

: <math>\frac{d}{dx} \log_b(x) = \frac{1}{x\ln(b)}. </math>

\operatorname{Li}_s(z) = \sum_{k=1}^\infty {z^k \over k^s}.

</math>

 

== Σημειώσεις ==

{{Link FA|ru}}

{{Link_FA|en}}

[[am:ሎጋሪዝም]]

[[an:Logaritmo]]