Αριθμοί του Πελ: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
||
Γραμμή 20:
:<math>P_{n+1}P_{n-1}-P_n^2 = (-1)^n,</math>
<br/>είναι μια άμεση συνέπεια του τύπου του πίνακα (διαπιστώθηκε από την εξέταση των παραγόντων που επηρεάζουν τις μήτρες στην αριστερή και στη δεξιά πλευρά της τύπου της μήτρας).<ref>Για τον τύπο μήτρας και τις συνέπειές της βλέπε Ερκολάνο (1979) και Κίλιτς και Τάσκι (2005). Οι πρόσθετες ταυτότητες για τους αριθμούς Πελ αναφέρονται από τον Horadam (1971) και τον Bicknell (1975).</ref>
== Προσέγγιση στην τετραγωνική ρίζα του δυο ==
[[Image:Pell octagons.svg|thumb|300px|Rational approximations to regular [[octagon]]s, with coordinates derived from the Pell numbers.]]
Οι αριθμοί του Πελ προκύπτουν ιστορικά και κυρίως στην [[ορθολογική προσέγγιση]] της [[Τετραγωνική ρίζα του 2|τετραγωνικής ρίζας του 2]]
Αν δυο μεγάλοι ακέραιοι ''x'' και ''y'' σχηματίζουν μια λύση της [[εξίσωση του Πελ|εξίσωσης του Πελ]] <br/>
:<math>\displaystyle x^2-2y^2=\pm 1,</math>
<br/> τότε η αναλογία τους <math>\tfrac{x}{y}</math> παρέχει μια στενή προσέγγιση της <math>\scriptstyle\sqrt 2</math>. Η ακολουθία προσεγγίσεων αυτού του τύπου είναι
:<math>1, \frac32, \frac75, \frac{17}{12}, \frac{41}{29}, \frac{99}{70}, \dots</math>
<br/>όπου ο παρονομαστής από κάθε κλάσμα είναι ένας αριθμός του Πελ και ο αριθμητής είναι το άθροισμα ενός αριθμού του Πελ και του προηγούμενου του στην ακολουθία.
Έτσι, οι λύσεις έχουν τη μορφή <math>\tfrac{P_{n-1}+P_n}{P_n}</math>. Η προσέγγιση
:<math>\sqrt 2\approx\frac{577}{408}</math>
<br/> αυτού του τύπου ήταν γνωστή στους Ινδούς μαθηματικούς από τον τρίτο ή τέταρτο αιώνα π.Χ. <ref>Όπως καταγράφεται στο [[Shulba Sutras]]; βλέπε π.χ. Dutka (1986),ο οποίος παραθέτει Thibaut (1875) για αυτήν την πληροφορία.</ref> Οι Έλληνες μαθηματικοί του πέμπτου αιώνα π.Χ. ήξεραν επίσης γι' αυτήν την ακολουθία των προσεγγίσεων: <ref>Βλέπε Knorr (1976) για τον πέμπτο αιώνα, ο οποίος ταιριάζει τον ισχυρισμό του [[Πρόκλος|Πρόκλου]] ότι οι αριθμοί πλευράς και διαμέτρου ανακαλύφθηκαν από τους [[Πυθαγόρειοι|Πυθαγόρειους]].Για πιο λεπτομερή εξερεύνηση της μεταγενέστερης ελληνικής γνώσης αυτών των αριθμών βλέπε Thompson (1929), Vedova (1951), Ridenhour (1986), Knorr (1998), and Filep (1999).</ref> Ο Πλάτωνας αναφέρεται στους αριθμητές ως τις '''ορθολογικές διαμέτρους'''.<ref> Για παράδειγμα, όπως πολλές από τις παραπομπές από το προηγούμενο σημείωμα παρατηρούν, στην [[Πολιτεία του Πλάτωνα]] υπάρχει μια αναφορά στην "ορθολογική διάμετρο του 5", με την οποία ο [[Πλάτων]] εννοεί 7, τον αριθμητή της προσέγγισης 7/5 της οποίας το 5 είναι ο παρονομαστής.</ref> Τον 2ο αιώνα μ.Χ. ο [[Θέων της Σμύρνης]] χρησιμοποίησε τον όρο '''αριθμοί πλευράς και διαμέτρου''' για να περιγράψει τους παρονομαστές και τους αριθμητές αυτής της ακολουθίας.<ref>{{citation|title=History of Greek Mathematics: From Thales to Euclid|first=Sir Thomas Little|last=Heath|authorlink=Thomas Little Heath|publisher=Courier Dover Publications|year=1921|isbn=9780486240732|page=112|url=http://books.google.co.uk/books?id=drnY3Vjix3kC&pg=PA112}}.</ref>
== Αναφορές ==
| |||