Αριθμοί του Πελ: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
||
Γραμμή 42:
Οι αριθμοί Pell που είναι τετράγωνα, κύβοι, ή οποιαδήποτε ανώτερη δύναμη του ακεραίου είναι 0, 1, and 169 = 13<sup>2</sup>.<ref>Pethő (1992); Cohn (1996). Αν και οι [[Fibonacci αριθμό]]ι ορίζονται από μια πολύ παρόμοια επανάληψη με τους αριθμούς Pell, ο Cohn γράφει ότι ένα ανάλογο αποτέλεσμα για τους αριθμούς Fibonacci φαίνεται πολύ πιο δύσκολο να αποδειχθεί. (Ωστόσο, αυτό αποδείχθηκε το 2006 από Bugeaud.) </ref>
Ωστόσο, παρά το γεγονός ότι έχουμε τόσο λίγα τετράγωνα ή άλλες δυνάμεις,oi αριθμοί Πελ έχουν μια στενή σχέση με τους [[
:<math>\bigl((P_{k-1}+P_k)\cdot P_k\bigr)^2 = \frac{(P_{k-1}+P_k)^2\cdot\left((P_{k-1}+P_k)^2-(-1)^k\right)}{2}.</math>
Η αριστερή πλευρά της ταυτότητας αυτής περιγράφει έναν [[τετραγωνικό αριθμό]], ενώ η δεξιά πλευρά περιγράφει έναν [[τριγωνικό αριθμό]], ώστε το αποτέλεσμα να είναι ένας τετράγωνικος τριγωνικός αριθμός.
Οι Santana και Diaz-Barrero (2006) αποδεικνύουν μια άλλη ταυτότητα που αφορούν τους αριθμούς Πελ σε τετράγωνα και δείχνει ότι το άθροισμα των αριθμών Πελ μέχρι <math> P_ {4n +1} </math> είναι πάντα ένα τετράγωνο:
:<math>\sum_{i=0}^{4n+1} P_i = \left(\sum_{r=0}^n 2^r{2n+1\choose 2r}\right)^2 = (P_{2n}+P_{2n+1})^2.</math>
Για παράδειγμα, το άθροισμα των αριθμών Pell μέχρι <math>P_5</math>, <math>0+1+2+5+12+29=49</math>, είναι το τετράγωνο από
<math>P_2+P_3=2+5=7</math>. Οι αριθμοί <math>P_{2n}+P_{2n+1}</math> σχηματίζουν τις τετραγωνικές ρίζες των εν λόγω ποσών,
:1, 7, 41, 239, 1393, 8119, 47321, ... {{OEIS|id=A002315}}, είναι γνωστοί ως οι [[Newman-Shanks-Williams αριθμοί | Newman-Shanks-Williams (NSW) αριθμοί]].
| |||