Αριθμοί του Πελ: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
||
Γραμμή 312:
=== ''H''<sup>2</sup> − 2''P''<sup>2</sup> = ±1 ===
Δεδομένου ότι η <math>\sqrt2</math> είναι άρρητος, δεν μπορούμε να έχουμε <math>\frac{H}{P}=2\, </math> δηλαδή <math>\frac{H^2}{P^2}=\frac{2P^2}{P^2}\, </math>. Το καλύτερο που μπορούμε να επιτύχουμε είναι είτε <math>\frac{H^2}{P^2}=\frac{2P^2-1}{P^2}\, </math> ή <math>\frac{H^2}{P^2}=\frac{2P^2+1}{P^2} </math>.
Οι (μη αρνητικές) λύσεις της <math>H^2-2P^2=1 \,</math> είναι ακριβώς τα ζεύγη <math>H_n,P_n \mbox{ with} n\, </math> άρτιος και οι λύσεις της <math>H^2-2P^2=-1 \,</math> είναι ακριβώς τα ζεύγη <math>H_n,P_n \mbox{ with } n \,</math> περιττό. Για να δείτε αυτό, σημειώστε πρώτα ότι
:<math>H_{n+1}^2-2P_{n+1}^2=(H_n+2P_n)^2-2(H_n+P_n)^2=-(H_n^2-2P_n^2) \,</math>
έτσι ώστε αυτές οι διαφορές, ξεκινώντας με την <math>H_{0}^2-2P_{0}^2=1 \, </math> είναι εναλλάξ
<math>1 \mbox{ and }-1 \,</math>. Στη συνέχεια, σημειώστε ότι κάθε θετική λύση έρχεται με αυτό τον τρόπο από μια λύση με μικρότερους ακεραίους από
<math>(2P-H)^2-2(H-P)^2=-(H^2-2P^2) \,</math>. Η μικρότερη λύση έχει επίσης θετικούς ακεραίους, με εξαίρεση μία
<math>H=P=1 \,</math> η οποία προέρχεται από <math>H_0=1 \mbox{ and }P_0=0 \,</math>.
| |||