Αξίωμα της επιλογής: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

**ΗΤο παράδοξο Banach-Tarski παράδοξο.

**Το μέτρο Lebesgue μάςμιάς μετρήσιμης ένωσης ξένων μετρήσιμων συνόλων είναι ίσο με το άθροισμα των μέτρων των επιμέρων συνόλων.

**ΗΤο [[Nielsen-Schreier θεώρημα]], ότι κάθε υποομάδα μιας ελεύθερης ομάδας είναι ελεύθερη.

**Οι ομάδες πρόσθετης [[Ε]] και [[C]] είναι ισομορφικάισομορφικές. [13] και [14]

**Το [[Hahn-Banach θεώρημα]] στη [[λειτουργικήσυναρτησιακή ανάλυση]], που επιτρέπει την επέκταση των [[γραμμικών συναρτησιακών]]

**ΗΤο [[Banach-Alaoglu θεώρημα]] σχετικάείναι σχετικό με την [[συμπαγές σύνολασυμπαγότητα συναρτησιακών συνόλων]].

**Το [[θεώρημα Baire]] κατηγορίαςείναι για [[πλήρηπλήρης μετρικοίμετρικούς χώροιχώρους]], και τιςοι συνέπειές τηςτου, όπως ητο [[ανοικτήθεώρημα χαρτογράφησηανοικτής απεικόνησης]] θεώρημα και ητο **[[θεώρημα κλειστού γραφήματος]].

**Ένα ομοιόμορφο διάστημα είναι συμπαγής αν και μόνο αν αυτό είναι πλήρες και εντελώς οριοθετούνταιοριοθετημένο.

**Κάθε [[χώρος Tychonoff]] έχει μια [[πέτραstone-Čech συμπαγοποίηση]].

Υπάρχουν μοντέλα της Zermelo-Fraenkel θεωρίαθεωρίας των συνόλων στην οποία το αξίωμα της επιλογής είναι ψευδής. Εμείς θα συντομεύσει "Zermelo-Fraenkel θεωρία συνόλων καθώς και την άρνηση του αξιώματος της επιλογής" ZF ¬ C. Για ορισμένα μοντέλα της ZF ¬ C, είναι δυνατόν να αποδειχθεί η άρνηση κάποιων στάνταρ γεγονότα. Σημειώστε ότι κάθε μοντέλο της ZF ¬ C είναι επίσης ένα μοντέλο της ZF, για καθεμία από τις ακόλουθες δηλώσεις, υπάρχει ένα μοντέλο της ZF με τον οποίο η δήλωση είναι αληθινή.