Αξίωμα της επιλογής: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Υπάρχουν μοντέλα της Zermelo-Fraenkel θεωρίας των συνόλων στηνστα οποία το αξίωμα της επιλογής είναι ψευδής. Εμείς θα συντομεύσεισυντομεύσουμε το "Zermelo-Fraenkel θεωρία συνόλωνσυνόλου καθώς και την άρνηση του αξιώματος της επιλογής" ZF ¬ C. Για ορισμένα μοντέλα της ZF ¬ C, είναι δυνατόν να αποδειχθεί η άρνηση κάποιων στάνταρ γεγονόταγεγονότων. Σημειώστε ότι κάθε μοντέλο της ZF ¬ C είναι επίσης ένα μοντέλο της ZF, για καθεμία από τις ακόλουθες δηλώσεις, υπάρχει ένα μοντέλο της ZF με τον οποίο η δήλωση είναι αληθινή.

*Υπάρχει ένα μοντέλο της ZF ¬ C στην οποία πραγματικοί αριθμοί είναι μετρήσιμαμετρήσιμη ένωση μετρήσιμαμετρήσιμων σύνολασυνόλων. [16]

*Υπάρχει ένα μοντέλο ZF ¬ C στην οποία υπάρχει ένας χώρος διάνυσμα με δύο βάσεις των διαφορετικών cardinalitiesπληθικών

*Υπάρχει ένα μοντέλο της ZF ¬ C στην οποία υπάρχει μια ελεύθερη [[πλήρης άλγεβρα Boole]] για αριθμήσιμο πολλέςπολλών γεννήτριεςγεννητριών. [17]

*Υπάρχει ένα μοντέλο της ZF ¬ C στηνστο οποίαοποίο κάθε σύνολο στο Rn είναι μετρήσιμο. Έτσι, είναι δυνατόν να αποκλειστούν αντιφατικόαντιφατικά αποτελέσματα, όπως το [[παράδοξο Banach-Tarski παράδοξο]] που είναι αποδείξιμεςαποδείξιμο σε ZFC. Επιπλέον, αυτό είναι δυνατό, ενώ αναλαμβάνοντας το [[αξίωμα του εξαρτάται απότης επιλογή]], η οποία είναι ασθενέστερη από ότο, AC, αλλά επαρκείς για την ανάπτυξη τα περισσότεραπερισσότερων από [[πραγματική ανάλυση]].

"Το αξίωμα της επιλογής είναι απαραίτητο να επιλέξει ένα σύνολο από άπειρες κάλτσες, αλλά όχι απο έναν άπειρο αριθμό παπουτσιώνυποδειμάτων". - [[Bertrand Russell]]

:Η παρατήρηση εδώ είναι ότι μπορεί κάποιος να ορίσει μια συνάρτηση για να επιλέξει από έναν άπειρο αριθμό ζευγών παπουτσιών, δηλώνοντας, για παράδειγμα, να επιλέξειεπιλεγεί το αριστερό παπούτσι. Χωρίς το αξίωμα της επιλογής, δεν μπορεί κανείς να ισχυριστεί ότι μια τέτοια λειτουργία υπάρχει για ζευγάρια κάλτσες, γιατί αριστερές και δεξιές κάλτσες είναι (πιθανώς) δυσδιάκριτες μεταξύ τους.

"Ο Tarski προσπάθησε να δημοσιεύσει το θεώρημα του [η ισοδυναμία μεταξύ των AC και ' κάθε άπειρο σύνολο Α έχει την ίδια cardinalityπληθικότητα όπως AXA », βλ. ανωτέρω] στο Comptes Rendus, αλλά ο Fréchet και ο Lebesgue αρνήθηκαν να το παρουσιάσουν.O Fréchet έγραψε ότι μια επίπτωση μεταξύ των δύο γνωστών [αληθών] προτάσεων δεν είναι ένα νέο αποτέλεσμα, και Lebesgue έγραψε ότι μια επίπτωση μεταξύ των δύο ψευδείςψευδών προτάσειςπροτάσεων δεν παρουσιάζει κανένα ενδιαφέρον ».