Αξίωμα της επιλογής: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Η διατύπωση του αξιώματος της επιλογής δεν διευκρινίζει αν η συλλογή των μη κενό συνόλων είναι πεπερασμένη ή άπειρη, και ως εκ τούτου συνεπάγεται ότι [[κάθε πεπερασμένη συλλογή]] των μη κενό συνόλων έχει μια συνάρτηση επιλογής. Ωστόσο, η συγκεκριμένη περίπτωση, είναι ένα θεώρημα του [[Zermelo-Fraenkel Θεωρία Συνόλων]],χωρίς το αξίωμα της επιλογής (ZF), αυτό αποδεικνύεται εύκολα με [[μαθηματική επαγωγή]].[5]<ref>Tourlakis (2003), pp. 209–210, 215–216.</ref> Σε ακόμα πιο απλή περίπτωση μιας συλλογής από ένα σύνολο, μια συνάρτηση επιλογής μόνο αντιστοιχεί σε ένα στοιχείο,οπότε αυτή η παρουσία του αξιώματος της επιλογής λέει ότι κάθε μη κενό σύνολο έχει ένα στοιχείο, αυτό ισχύει τετριμμένα. Το αξίωμα της επιλογής μπορεί να θεωρηθεί ως επιβεβαίωση της γενίκευσης αυτού του χαρακτηριστικού,που είναι ήδη εμφανές για πεπερασμένα συλλογές, σε αυθαίρετες συλλογές.

Στο [[Martin-Löf θεώρημα]] και η ανώτερης τάξης [[αριθμητική Heyting]], η κατάλληλη κατάσταση του αξιώματος της επιλογής είναι (ανάλογα με την προσέγγιση) περιλαμβανόμενο ως αξίωμα ή αποδεικτικά ως θεώρημα..<ref>[[Per Martin-Löf]], ''[6http://www.cs.cmu.edu/afs/cs/Web/People/crary/819-f09/Martin-Lof80.pdf Intuitionistic type theory]'', 1980.
[[Anne Sjerp Troelstra]], ''Metamathematical investigation of intuitionistic arithmetic and analysis'', Springer, 1973.</ref> [[Errett Bishop]] υποστήριξε ότι το αξίωμα της επιλογής ήταν εποικοδομητικά αποδεκτό, λέγοντας

:"Μια συνάρτηση υφίσταται στα εποικοδομητική μαθηματικά, επειδή η επιλογή της συνάγεται με το ίδιο το νόημα της ύπαρξης».<ref>[[Errett Bishop]] and [7[Douglas S. Bridges]], ''Constructive analysis'', Springer-Verlag, 1985.</ref>

Η απόδειξη του αποτελέσματος της ανεξαρτησίας δείχνει επίσης ότι μια μεγάλη τάξη των μαθηματικών καταστάσεων, συμπεριλαμβανομένων όλων των καταστάσεων που μπορεί να διατυπωθεί στη γλώσσα της αριθμητικής [[Peano]], είναι αποδείξιμες σε ZF αν και μόνο αν είναι αποδείξιμες σε ZFC.<ref>This is because arithmetical statements are [10[absoluteness (mathematical logic)|absolute]] to the [[constructible universe]] ''L''. [[Shoenfield's absoluteness theorem]] gives a more general result.</ref> Δηλώσεις σε αυτή τη κατηγορία περιλαμβάνεται τη δήλωση ότι [[P = NP]], [[η υπόθεση Riemann]], και πολλά άλλα άλυτα μαθηματικά προβλήματα. Όταν κάποιος προσπαθεί να λύσει τα προβλήματα σε αυτή την κατηγορία, δεν υπάρχει καμία διαφορά εάν χρησιμοποιεί ZF ή ZFC , αν το μόνο ζήτημα είναι η ύπαρξη μιας απόδειξης. Είναι δυνατόν, ωστόσο, ότι υπάρχει μια μικρότερη απόδειξη θεωρήματος στο ZFC από ό, τι στο ZF.