Βικιπαίδεια

Αξίωμα της επιλογής: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Περιήγηση ιστορικού διαδραστικά
← Προηγούμενη διαφοράΕπόμενη διαφορά →
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
ΟπτικήΚώδικας wiki
Eirinih (συζήτηση | συνεισφορές)
249 επεξεργασίες
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας
Eirinih (συζήτηση | συνεισφορές)
249 επεξεργασίες
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας
Γραμμή 75:
Μια απόδειξη που απαιτεί το αξίωμα της επιλογής μπορεί να αποδείξει την [[ύπαρξη]] ενός αντικειμένου, χωρίς σαφή οριοθέτηση του αντικειμένου στη γλώσσα της θεωρίας συνόλων. Για παράδειγμα, ενώ το αξίωμα της επιλογής συνεπάγεται ότι υπάρχει μια [[καλή διάταξη]] των πραγματικών αριθμών, υπάρχουν μοντέλα της θεωρίας συνόλων με το αξίωμα της επιλογής στο οποίο δεν υπάρχει καλά-διατεταγμένο της πραγματικής ευθείας σύνολο που να είναι προσδιορίσιμο. Ομοίως, αν ένα υποσύνολο των πραγματικών αριθμών δεν είναι [[Lebesgue μετρήσιμο]] μπορεί να αποδειχθεί πως υπάρχει με το αξίωμα της επιλογής, είναι συνεπής ότι δεν υπάρχει τέτοιο σύνολο που να είναι προσδιορίσιμο.
 
Το αξίωμα της επιλογής παράγει αυτά τα άυλα στοιχεία (αντικείμενα που έχουν αποδειχθεί για να υπάρξει, αλλά η οποία δεν μπορεί να κατασκευαστεί ρητά), η οποία μπορεί να συγκρούονται με κάποιες φιλοσοφικές αρχές. Επειδή δεν υπάρχει κανονική καλή διάταξη όλων των συνόλων, μια κατασκευή που βασίζεται σε ένα καλά-παραγγελίαδιατεταγμένων που δεν μπορεί να παράγει ένα [[κανονικό]] αποτέλεσμα, ακόμη και αν ένα κανονικό αποτέλεσμα είναι επιθυμητήεπιθυμητό (όπως είναι συχνά η περίπτωση στη [[θεωρία κατηγορία]]). Αυτό έχει χρησιμοποιηθεί ως επιχείρημα κατά του χρήση του αξιώματος της επιλογής.
 
Ένα άλλο επιχείρημα κατά το αξίωμα της επιλογής είναι ότι προϋποθέτει την ύπαρξη αντιφατικών αντικειμένων. Ένα παράδειγμα είναι [[το παράδοξο του Banach-Tarski]] που λέει ότι είναι δυνατόν να αποσυντεθούν ("carve up"), 3-διάστατα στερεά μοναδιαίας σφαίρας σε πολλά κομμάτια και, χρησιμοποιώντας μόνο περιστροφές και τις μετακινήσεις, συναρμολογώντας τα κομμάτια σε δύο στερεές μπάλες καθε μία με τον ίδιο όγκο με το πρωτότυπο. Τα κομμάτια σε αυτή την αποσύνθεση, κατασκευάστηκαν χρησιμοποιώντας το αξίωμα της επιλογής, είναι [[μη μετρήσιμα συνόλων]].
Γραμμή 83:
Είναι δυνατό να αποδείξουμε πολλά θεωρήματα χρησιμοποιώντας είτε το αξίωμα επιλογής, είτε την άρνηση του, τέτοιες καταστάσεις είναι αληθές σε κάθε [[μοντέλο]] της [[Zermelo-Fraenkel Θεωρίας Συνόλων]] (ZF), ανεξάρτητα από την αλήθεια ή την αναλήθεια του αξιώματος της επιλογής του σε αυτό το συγκεκριμένο μοντέλο . Ο περιορισμός για την ZF καθιστά οποιαδήποτε αξίωση που βασίζεται είτε στο αξίωμα της επιλογής είτε της άρνησής της να ειναι αναπόδεικτό. Για παράδειγμα, το παράδοξο του Banach-Tarski δεν είναι ούτε αποδείξιμο ούτε μη αποδείξιμο από το ZF: είναι αδύνατο να κατασκευαστεί η απαιτούμενη αποσύνθεση της μοναδιαίας μπάλας στην ZF, αλλά και αδύνατο να αποδειχθεί οτι δεν υπάρχει τέτοια αποσύνθεση. Ομοίως, όλες οι δηλώσεις που αναφέρονται παρακάτω, τα οποία απαιτούν την επιλογή της ή κάποια ασθενέστερη εκδοχή της για την απόδειξη τους είναι αναπόδεικτες στο ZF, αλλά δεδομένου ότι το καθένα είναι αποδείξιμο στο ZF συν το αξίωμα της επιλογής, υπάρχουν μοντέλα της ZF στο οποίο κάθε κατάσταση είναι αληθινή. Καταστάσεις όπως το παράδοξο του Banach-Tarski μπορεί να επαναδιατυπωθεί ως υπό όρους καταστάσεις, για παράδειγμα, «Αν AC κατέχει, η αποσύνθεση του παράδοξου Banach-Tarski υπάρχει." Τέτοιες δηλώσεις υπό όρους είναι αποδείξιμες στο ZF, όταν οι αρχικές δηλώσεις είναι αποδείξιμες από ZF και του αξίωμα της επιλογής.
 
==ΕποικοδομητικάΔομημένα Μαθηματικά==
 
Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, στο ZFC, το αξίωμα της επιλογής είναι σε θέση να παρέχει ''[[μη εποικοδομητικέςδομημένες αποδείξεις]]'' στην οποία η ύπαρξη ενός αντικειμένου αποδεικνύεται, αν και κανένα παράδειγμα δεν είναι κατασκευασμένο. ZFC, ωστόσο, εξακολουθεί να επισημοποιεί στην κλασική λογική. Το αξίωμα της επιλογής έχει επίσης μελετηθεί λεπτομερώς στο πλαίσιο των εποικοδομητικώνδομημένων μαθηματικών, όπου η μη-κλασσική λογική χρησιμοποιείται. Η κατάσταση του αξιώματος της επιλογής ποικίλλει μεταξύ των διαφόρων ποικιλιών των εποικοδομητικώνδομημένων μαθηματικών.
 
Στο [[Martin-Löf θεώρημα]] και η ανώτερης τάξης [[αριθμητική Heyting]], η κατάλληλη κατάσταση του αξιώματος της επιλογής είναι (ανάλογα με την προσέγγιση) περιλαμβανόμενο ως αξίωμα ή αποδεικτικά ως θεώρημα..<ref>[[Per Martin-Löf]], ''[http://www.cs.cmu.edu/afs/cs/Web/People/crary/819-f09/Martin-Lof80.pdf Intuitionistic type theory]'', 1980.
[[Anne Sjerp Troelstra]], ''Metamathematical investigation of intuitionistic arithmetic and analysis'', Springer, 1973.</ref> [[Errett Bishop]] υποστήριξε ότι το αξίωμα της επιλογής ήταν εποικοδομητικά αποδεκτό, λέγοντας
 
:"Μια συνάρτηση υφίσταται στα εποικοδομητικήδομημένα μαθηματικά, επειδή η επιλογή της συνάγεται με το ίδιο το νόημα της ύπαρξης».<ref>[[Errett Bishop]] and [[Douglas S. Bridges]], ''Constructive analysis'', Springer-Verlag, 1985.</ref>
 
 
Στην [[εποικοδομητικήδομημένη θεωρία των συνόλων]], ωστόσο, [[θεώρημα Ντιακονέσκου]] δείχνει ότι το αξίωμα της επιλογής προϋποθέτει το νόμο της αποκλεισμένου μέσου (σε αντίθεση με Martin-Löf θεωρία, όπου αυτό δεν συμβαίνει). Έτσι, το αξίωμα της επιλογής δεν είναι εν γένει διαθέσιμο στη εποικοδομητικήδομημένη Θεωρίας Συνόλου. Μια αιτία για αυτή τη διαφορά είναι ότι το αξίωμα της επιλογής δεν έχει τις ιδιότητες [[Επεκτασιμότητας]] σε σχεση με το αξίωμα της επιλογής στην εποικοδομητικήδομημένη Θεωρίας Συνόλων.<ref>[[Per Martin-Löf]], "100 Years of Zermelo’s Axiom of Choice: What was the Problem with It?", ''The Computer Journal'' (2006) 49 (3): 345-350. doi: 10.1093/comjnl/bxh162</ref>
 
Ορισμένα αποτελέσματα στην εποικοδομητικήδομημένη θεωρία σύνολου χρησιμοποιούν το [[αξίωμα της επιλογής μετρήσιμων]] ή [[το αξίωμα της επιλογής]], το οποία δεν συνεπάγεται με το αποκλεισμένο μέσο στην εποικοδομητικήδομημένη θεωρία συνόλων. Αν και το αξίωμα της επιλογής μετρήσιμων, ειδικότερα,συχνά χρησιμοποιείται σε εποικοδομητικα μαθηματικά, η χρήση του έχει επίσης αμφισβητηθεί.<ref>Fred Richman, “Constructive mathematics without choice”, in: Reuniting the Antipodes—Constructive and Nonstandard Views of the Continuum (P. Schuster et al., eds), Synthèse Library 306, 199–205, Kluwer Academic Publishers, Amsterdam, 2001.</ref>
 
==Ανεξαρτησία==
 
Υποθέτοντας οτι ZF είναι συνεκτικό,ο [[Kurt Gödel]] έδειξε ότι η άρνηση του αξιώματος της επιλογής δεν είναι ένα θεώρημα της ZF με την κατασκευή ενός [[εσωτερικού μοντέλου]] (η [[οικοδομήσιμο σύμπαν]]), η οποία ικανοποιεί ZFC και δείχνοντας έτσι ότι η ZFC είναι συνεκτικησυνεκτική. Υποθέτοντας οτι ZF είναι συνεκτικό, ο [[Paul Cohen]] χρησιμοποίησε την τεχνική της αναγκάζοντας, να αναπτύχθεί για το σκοπό αυτό, για να δείξει ότι το αξίωμα της επιλογής από μόνο του δεν είναι ένα θεώρημα της ZF με την κατασκευή ενός πολύ πιο σύνθετου μοντέλου που ικανοποιεί την ZF ¬ C (ZF με η άρνηση της AC προστίθεται ως αξίωμα) και δείχνοντας έτσι ότι η ZF ¬ C είναι συνεκτική. Μαζί με τα αποτελέσματα αυτά αποδεικνύεται ότι η αξίωμα της επιλογής είναι λογικά ανεξάρτητο από το ZF. Η υπόθεση ότι ο ZF είναι συνεκτικός είναι ακίνδυνο, διότι προσθέτοντας άλλο αξίωμα σε ένα ήδη ασυνεπή σύστημα δεν μπορεί να κάνει την κατάσταση χειρότερη. Λόγω της ανεξαρτησίας, η απόφαση για τη χρήση του αξιώματος της επιλογής (ή η άρνησή της),οδηγεί σε μια απόδειξη που δεν μπορεί να γίνει με προσφυγή σε άλλα αξιώματα της θεωρία των συνόλων. Η απόφαση πρέπει να γίνει για άλλους λόγους.
 
Ένα επιχείρημα που έχει εκδοθεί υπέρ της χρησιμότητας του αξιώματος της επιλογής είναι ότι είναι βολικό να το χρησιμοποιηθεί επειδή επιτρέπει σε κάποιον να αποδείξει κάποιες απλοποιημένες προτάσεις που διαφέρουν και δεν μπορούν να αποδειχούν. Πολλά θεωρήματα τα οποία είναι επιλεκτικά αποδεικτά χρησιμοποιούνται και είναι κομψού γενικού χαρακτήρα: κάθε ιδανικό σε ένα δαχτυλίδι περιέχει ένα μέγιστο ιδανικό, κάθε χώρος φορέας έχει μια βάση, και κάθε προϊόν μικρού χώρου είναι συμπαγής. Χωρίς το αξίωμα της επιλογής, αυτά τα θεωρήματα δεν μπορεί να κρατήσει για μαθηματικά αντικείμενα μεγάλων πληθάριθμων
Ανακτήθηκε από "https://el.wikipedia.org/wiki/Αξίωμα_της_επιλογής"