Αξίωμα της επιλογής: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
||
Γραμμή 93:
Στην [[δομημένη θεωρία των συνόλων]], ωστόσο, [[θεώρημα Ντιακονέσκου]] δείχνει ότι το αξίωμα της επιλογής προϋποθέτει το νόμο
Ορισμένα αποτελέσματα στην δομημένη θεωρία σύνολου χρησιμοποιούν το [[αξίωμα της επιλογής μετρήσιμων]] ή [[το αξίωμα της επιλογής]], το οποία δεν συνεπάγεται με το αποκλεισμένο μέσο στην δομημένη θεωρία συνόλων. Αν και το αξίωμα της επιλογής μετρήσιμων, ειδικότερα,συχνά χρησιμοποιείται
==Ανεξαρτησία==
Γραμμή 117:
Υπάρχουν σημαντικές περιπτώσεις ότι, αναλαμβάνοντας τα αξιώματα της [[ZF]], αλλά ούτε η AC, ούτε η ¬ AC, είναι ισοδύναμες με το αξίωμα της επιλογής. Η πιο σημαντικό ανάμεσά τους είναι [[το λήμμα του Zorn]] και το καλά-διατεταγμένο θεώρημα. Στην πραγματικότητα,ο Zermelo αρχικά εισήγαγε το αξίωμα της επιλογής, προκειμένου να επισημοποιήσει την απόδειξη του [[καλά διατεταγμένου θεώρημα.]]
* [[Θεωρία
** [[Καλά διατεταγμένο θεώρημα]]: Κάθε σύνολο μπορεί να είναι καλά διατεταγμένο. Κατά συνέπεια, κάθε [[θεμελιώδης αριθμός]] έχει μια [[αρχική αριθμητική]].
** [[Θεώρημα του Tarski]]: Για κάθε άπειρο σύνολο'' Α'', υπάρχει μια [[αντιστοιχία]] μεταξύ των συνόλων'' Α'' και'' Α'' Χ'' A''.
** [[τριχοτόμιση]]: Αν δίνονται δύο συνόλα, τότε είτε έχουν τον ίδιο πληθάριθμο, είτε κάποιος έχει ένα μικρότερο πληθάριθμο από το άλλο.
**
** [[Θεώρημα König του (θεωρία των συνόλων) | Θεώρημα König ]]: Κοινώς, το άθροισμα μιας στοιχειώδους σειράς είναι αυστηρά μικρότερη από το γινόμενο μιας ακολουθίας των μεγαλύτερων . (Ο λόγος για τον όρο "κοινώς",που είναι ότι το άθροισμα ή το προϊόν μιας «αλληλουχία» των στοιχείων που δεν μπορεί να οριστεί χωρίς κάποια πτυχή στο αξίωμα της επιλογής.)
**Κάθε [[αντίστροφη συνάρτηση]] έχει [[αντίστροφη συνάρτηση # αριστερά και δεξιά αντίστροφα | δεξιά αντίστροφα]].
Γραμμή 127:
* [[θεώρημα διάταξης]]
** [[Λήμμα του Zorn]]: Κάθε μη κενό μερικώς διατεταγμένο σύνολο στο οποίο κάθε [[αλυσίδας]] (δηλαδή διατεταγμένο εντελώς υποσύνολο) έχει ένα άνω όριο που περιέχει τουλάχιστον ένα [[μέγιστο στοιχείο]].
** [[Hausdorff μέγιστη αρχή]]: Σε κάθε μερικώς διατεταγμένο σύνολο, κάθε πλήρως διατεταγμένο υποσύνολο περιέχεται σε ένα μέγιστο πλήρως διατεταγμένο υποσύνολο. Η περιορισμένη αρχή "Κάθε μερικώς διατεταγμένο σύνολο έχει
** [[Λήμμα Τακεν'δ]]: Κάθε μη κενή συλλογή [[πεπερασμένου χαρακτήρα]] έχει μέγιστο στοιχείο όσον αφορά την ένταξη.
** [[Antichain]] αρχή: Κάθε μερικώς διατεταγμένο σύνολο έχει ένα μέγιστο [[antichain]].
Γραμμή 144:
* [[Μαθηματική λογική]]
** Αν'' S'' είναι ένα σύνολο προτάσεων της [[λογική πρώτης τάξης]] και'' Β'' είναι ένα συνεχές υποσύνολο του'' S'', τότε'' B'' περιλαμβάνεται σε ένα σύνολο που είναι το μέγιστο μεταξύ συνεχών υποσυνόλων του'''' S. Η ειδική περίπτωση του'' S'' είναι το σύνολο των ''όλων''"των πρώτων
===Θεωρία κατηγοριών===
Γραμμή 158:
==Ηπιότερες μορφές==
Υπάρχουν πολλές ασθενέστερες καταστάσεις που δεν είναι ισοδύναμες με το αξίωμα της επιλογής, αλλά είναι στενά συνδεδεμένα. Ένα παράδειγμα είναι το
αποδείξεις στην πρωτοβάθμια [[μαθηματική ανάλυση]], και είναι σύμφωνες με ορισμένες αρχές, όπως το μέτρο Lebesgue όλων των συνόλων της πραγματικής ευθείας, που είναι από την πλήρη αξίωματα της επιλογής.
| |||