Τοπολογικός χώρος: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Στην [[Τοπολογία]] και σε συναφείς κλάδους των [[Μαθηματικά|μαθηματικών]], ένας '''τοπολογικός χώρος''' είναι ένα σύνολο από [[Σημείο|σημεία]], μαζί με ένα σύνολο από [[Γειτονιά (μαθηματικά)|γειτονίες]] για κάθε σημείο, που ικανοποιεί ένα σύνολο από [[Αξίωμα|αξιώματα]] που αφορούν τα σημεία και τις γειτονιές. Ο ορισμός ενός τοπολογικού χώρου στηρίζεται στην [[θεωρίαΘεωρία συνόλων]] και είναι η πιο γενική έννοια του μαθηματικού "χώρου" που επιτρέπει τον ορισμό εννοιών όπως η [[Συνέχεια συνάρτησης|συνέχεια]], η [[συνεκτικότητα]], και η [[Όριο ακολουθίας|σύγκλιση]]. Άλλοι χώροι, όπως οι [[πολλαπλότητες]] και οι [[Μετρικός χώρος|μετρικοί χώροι]], είναι ειδικές περιπτώσεις τοπολογικών χώρων με επιπλέον δομές και περιορισμούς. Όντας τόσο γενικοί, οι τοπολογικοί χώροι είναι μία κεντρική ενοποιητική έννοια και εμφανίζονται σχεδόν σε όλους τους κλάδους των σύγχρονων μαθηματικών. Ο κλάδος των μαθηματικών που μελετά τους τοπολογικούς χώρους ονομάζεται [[τοπολογία σημείων]] ή [[γενική τοπολογία]].

Η χρησιμότητα της έννοιας μιας τοπολογίας δείχνεται από το γεγονός ότι υπάρχουν διάφοροι ισοδύναμοι ορισμοί αυτής της δομής. Η πιο συχνά χρησιμοποιούμενη, και η πιο κομψή, είναι εκείνη που βασίζεται στον όρο των [[ανοιχτών συνόλων]], αλλά η πιο διαισθητική είναι εκείνη που βασίζεται στον όρο των [[Γειτονιά (μαθηματικά)|γειτονιών]] και γι αυτό δίνουμε αυτή πρώτη.

Έστω ''Χ'' ένα σύνολο; τα στοιχεία του Χ συνήθως ονομάζονται ''σημεία'', αν και μπορεί να είναι οποιοδήποτε μαθηματικό αντικείμενο. Επιτρέπουμε το ''Χ'' να είναι κενό. Έστω '''Ν''' είναι μία [[συνάρτησηΣυνάρτηση]] που αντιστοιχεί κάθε ''χ'' (σημείο) του ''Χ'' σε μία όχι κενή συλλογή '''Ν'''(''χ'') από υποσύνολα του ''Χ''. Τα στοιχεία του '''Ν'''(''χ'') θα λέγονται ''γειτονιές'' του ''χ'' σε σχέση με το '''Ν''' (ή, απλά, ''γειτονιές του χ''). Η συνάρτηση '''Ν''' λέγεται τοπολογική [[Γειτονιά (μαθηματικά)|γειτονιά]] αν τα [[Αξίωμα|αξιώματα]] παρακάτω {{sfn|Brown|2006|loc=section 2.1}} ικανοποιούνται; και τότε το ''Χ'' με το '''Ν''' λέγεται '''τοπολογικός χώρος'''. Ένας τοπολογικός χώρος στον οποίο τα ''σημεία'' ελιναι συναρτήσεις ονομάζεται [[συναρτησιακός χώρος]]