Τοπολογικός χώρος: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
||
Γραμμή 75:
Ένα δοθέν σύνολο μπορεί να έχει πολλές διαφορετικές τοπολογίες. Αν σε ένα σύνολο δοθεί μια διαφορετική τοπολογία, θεωρείται ως διαφορετικός τοπολογικός χώρος.Σε οποιοδήποτε σύνολο μπορεί να δοθεί η [[διακριτή τοπολογία]] στην οποία κάθε υποσύνολο είναι ανοιχτό. Οι μόνες συγκλίνουσες ακολουθίες ή δίχτυα σε αυτήν την τοπολογία είναι εκείνα που είναι τελικά σταθερά. Επίσης, σε οποιοδήποτε σύνολο μπορεί να δοθεί η [[τετριμμένη τοπολογία]] (που ονομάζεται επίσης αδιάκριτη τοπολογία), στην οποία μόνο το κενό σύνολο και όλος ο χώρος είναι ανοιχτά. Κάθε ακολουθία και δίχτυ σε αυτήν την τοπολογία συγκλίνει σε κάθε σημείο του χώρου. Αυτό το παράδειγμα δείχνει ότι σε γενικούς τοπολογικούς χώρους, τα όρια των ακολουθιών δε χρειάζεται να είναι μοναδικά. Ωστόσο, συχνά τοπολογικοί χώροι πρέπει να είναι [[Hausdorff χώροι]] όπου τα οριακά σημεία είναι μοναδικά.
Υπάρχουν πολλοί τρόποι ορισμού μίας τοπολογίας για το '''R''', το σύνολο των [[Πραγματικός αριθμός|πραγματικών αριθμών]]. Η πρότυπη τοπολογία για το '''R''' παράγεται από τα [[Διάστημα (μαθηματικά)|ανοιχτά διαστήματα]]. Το σύνολο όλων των ανοιχτών διαστημάτων σχηματίζει [[βάση]] ή βάσεις για την τοπολογία, πράγμα που σημαίνει ότι κάθε ανοιχτό σύνολο είναι μία ένωση κάποιας συλλογής συνόλων από τη βάση. Ειδικότερα, αυτό σημαίνει ότι ένα σύνολο είναι ανοιχτό αν υπάρχει ένα ανοιχτό διάστημα μη μηδενικής ακτίνας για κάθε σημείο του συνόλου. Γενικότερα, οι [[Ευκλείδιοι χώροι]] '''R'''<sup>''n''</sup> μπορεί να δίνουν μία τοπολογία. Στην συνηθισμένη τοπολογία για το '''R'''<sup>''n''</sup> τα βασικά ανοιχτά σύνολα είναι οι ανοιχτές [[μπάλες]]. Όμοια, '''C''', το σύνολο των [[Μιγαδικός αριθμός|μιγαδικών αριθμών]], και '''C'''<sup>''n''</sup> έχει μία πρότυπη τοπολογία στην οποία τα βασικά ανοιχτά σύνολα είναι ανοιχτές μπάλες.
Σε κάθε [[Μετρικός χώρος|μετρικό χώρο]] μπορεί να δοθεί μία μετρική τοπολογία, στην οποία τα βασικά ανοιχτά σύνολα είναι ανοιχτές μπάλες που ορίζονται από τον μετρικό. Αυτή είναι μία πρότυπη τοπολογία για οποιοδήποτε [[νόρμα διανυσματικό χώρο]]. Για έναν πεπερασμένης διάστασης [[Διανυσματικός χώρος|διανυσματικό χώρο]] αυτή η τοπολογία είναι η ίδια για όλες της νόρμες (κανόνες).
Πολλά σύνολα των [[Γραμμικός μετασχηματισμός|γραμμικών μετασχηματισμών]] στην [[συναρτησιακή ανάλυση]] είναι προικισμένα με τοπολογίες που ορίζονται προσδιορίζοντας πότε μία συγκεκριμένη ακολουθία συναρτήσεων συγκλίνει στη μηδενική συνάρτηση.
Οποιοδήποτε [[τοπικό πεδίο]] έχει μια εγγενή τοπολογία σε αυτό, και αυτό μπορεί να επεκταθεί σε διανυσματικούς χώρους πέρα από εκείνο το πεδίο.
Κάθε [[πολλαπλότητα]] έχει μία [[φυσική τοπολογία]] δεδομένου ότι είναι τοπικά Ευκλείδια. Όμοια, κάθε [[
Η [[τοπολογία Zariski]] ορίζεται αλγεβρικά στο [[φάσμα ενός δακτυλίου]] ή μιας [[αλγεβρικής ποικιλίας]]. Στον '''R'''<sup>''n''</sup> ή στον '''C'''<sup>''n''</sup>, τα κλειστά σύνολα της τοπολογίας Zariski είναι τα [[σύνολα λύσεων]] των συστημάτων των [[Πολυώνυμο|πολυωνυμικών]] εξισώσεων.
Ένα [[γραμμικό γράφημα]] έχει μία φυσική τοπολογία που γενικεύει πολλές από τις γεωμετρικές πτυχές των [[Θεωρία γράφων|γραφημάτων]] με [[κορυφές]] και [[Γράφος|ακμές]].
Ο [[χώρος Sierpiński]] είναι ο πιο απλός μη διακριτός τοπολογικός χώρος. Έχει σημαντικές σχέσεις με τη [[θεωρία υπολογισμού]] και τη σημασιολογία.
Γραμμή 104:
Σε κάθε υποσύνολο ενός τοπολογικού χώρου μπορεί να δοθεί η [[υποχώρου τοπολογία]] στην οποία τα ανοιχτά σύνολα είναι τομές των ανοιχτών συνόλων του μεγαλύτερου χώρου με το υποσύνολο. Για οποιαδήποτε [[οικογένεια με δείκτες]] ενός τοπολογικού χώρου, στο προϊόν μπορεί να δοθεί η [[τοπολογία προϊόντος]], η οποία παράγεται από τις αντίστροφες εικόνες των ανοιχτών συνόλων των παραγόντων κάτω από τις αντιστοιχήσεις [[προβολών]]. Για παράδειγμα, στα πεπερασμένα προϊόντα, μία βάση για το προϊόν τοπολογίας αποτελείται από όλα τα προϊόντα των ανοιχτών συνόλων. Για τα πεπερασμένα προϊόντα, υπάρχει η πρόσθετη απαίτηση ότι σε ένα βασικό ανοιχτό σύνολο, όλα εκτός τελικά από πολλές προβολές τους είναι ολόκληρος ο χώρος.
Ένας [[χώρος πηλίκο]] ορίζεται ως εξής: αν ''Χ'' είναι ένας τοπολογικός χώρος και ''Υ'' είναι ένα συνολο, και αν ''f'' : ''X''→ ''Y'' είναι μία [[επιρριπτική]] [[συνάρτηση]], τότε η τοπολογία πηλίκο για το ''Y'' είναι μία συλλογή υποσυνόλων του ''Υ'' που έχει ανοιχτές [[αντίστροφες εικόνες]] κάτω από την ''f''. Με άλλα λόγια, η τοπολογία πηλίκο είναι η λεπτότερη τοπολογία για το ''Y'' για το οποίο η ''f'' είναι συνεχής. Ένα συνηθισμένο παράδειγμα μίας τοπολογίας πηλίκου είναι μία [[Σχέση ισοδυναμίας|σχέση ισοδυναμίας]] ορίζεται για τον τοπολογικό χώρο ''Χ''. Η αντιστοιχία ''f'' είναι η φυσική προβολή πάνω στο σύνολο των [[κλάσεων ισοδυναμίας]].
Η '''τοπολογία Vietoris''' για το σύνολο όλων των μη κενών υποσυνόλων ενός τοπολογικού χώρου '''Χ''', που ονομάστηκε προς τιμή του [[Leopold Vietoris]], παράγεται από την ακόλουθη βάση: για κάθε ''n''-πλειάδα ''U''<sub>1</sub>,..., ''U''<sub>''n''</sub> των ανοιχτών συνόλων του ''Χ'', κατασκευάζουμε ένα βασικό σύνολο που αποτελείται από όλα τα υποσύνολα της ένωσης των ''U''<sub>''i''</sub> που έχουν μη κενές τομές με κάθε ''U''<sub>''i''</sub>.
Γραμμή 127:
Οι ακόλουθοι χώροι και άλγεβρες είναι είτε πιο ειδικοί(ες) ή πιο γενικοί(ες) από τους τοπολογικούς χώρους που συζητήθηκαν παραπάνω
* [[Εγγύτεις χώροι]] παρέχουν μια έννοια της εγγύτητας των δύο συνόλων.
* [[Σχέση ισοδυναμίας|Μετρικοί χώροι]] ενσωματώνουν μία [[Μετρική (μαθηματικά)|μετρική]], μια ακριβή έννοια της απόστασης μεταξύ των σημείων.
* [[Ενιαίοι χώροι]] αξιωματοποιούν διατάσσοντας την απόσταση μεταξύ των κρίσιμων σημείων.
* [[χώροι Cauchy]] αξιωματοποιούν τη δυνατότητα να ελέγξετε αν ένα δίχτυ είναι [[Cauchy]]. Οι Cauchy χώροι αποτελούν ένα γενικό πλαίσιο για τη μελέτη [[ολοκληρωμάτων]]
Γραμμή 137:
*[[T1 space|προσιτός/Fréchet χώρος]] (T<sub>1</sub>)
*[[Hausdorff χώρος]] (T<sub>2</sub>)
*[[
*[[κανονικός χώρος]] και κανονικός Hausdorff χώρος (T<sub>3</sub>)
*[[Tychonoff χώρος]] και
*[[φυσιολογικός Hausdorff χώρος]] (T<sub>4</sub>)
*[[
*[[τέλεια φυσιολογικός Hausdorff χώρος]] (T<sub>6</sub>)
*[[Χώρος (μαθηματικά)]]
| |||