Θεωρία αριθμών: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας Ετικέτα: μεγάλη προσθήκη |
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας Ετικέτα: μεγάλη προσθήκη |
||
Γραμμή 128:
====Arithmetic in the Islamic golden age====
[[File:Hevelius Selenographia frontispiece.png|upright|left|thumb|[[Al-Haytham]] seen by the West: frontispice of ''[[Selenographia]]'', showing Alhasen {{sic}} representing knowledge through reason, and Galileo representing knowledge through the senses.]]
Στις αρχές του ένατου αιώνα, ο χαλίφης [[Al-Ma'mun]] διέταξε να γίνουν μεταφράσεις πολλών Ελλήνων μαθηματικών έργων και τουλάχιστον ένα σανσκριτικά εργασίας (η'' Sindhind'',
η οποία μπορεί να </ref> {{harvnb | Colebrooke | 1817 | p = LXV}}, αναφέρεται στην {{harvnb | Hopkins | 1990 | p = 302}}. Δείτε επίσης τον πρόλογο στο
{{harvnb | Sachau | 1888}} αναφέρεται στην {{harvnb | Smith | 1958 | pp = 168}} </ ref> ή δεν μπορεί <ref name="Plofnot"> {{harvnb | Pingree | 1968 | pp = 97 -125}} και {{harvnb | Pingree | 1970 | pp = 103-123}}, που αναφέρεται στο {{harvnb | Plofker | 2008 |. p = 256}} </ ref> είναι [[Brahmagupta]] 's [[Brahmasphutasiddhanta | Brāhmasphuţasiddhānta]]), δίνοντας έτσι αφορμή για την παράδοση της [[ισλαμικά μαθηματικά]].
Κύριο έργο του Διόφαντου, τα'' Αριθμητικά'', μεταφράστηκαν στα αραβικά από τον [[Qusta ιμπν Λούκα]] (820 - 912).
Μέρος της πραγματείας'' αλ-Fakhri'' (από [[al-Karaji | al-Karaji]]., 953 - περ. 1029), στηρίζεται σε αυτό, σε κάποιο βαθμό. Σύμφωνα με Rashed Roshdi, Al-Karaji του σύγχρονου [[Ibn al-Haytham]] γνώριζε {{SFN | Rashed | 1980 | p = 305 - 321}} τι αργότερα θα ονομάζεται [[θεώρημα του Wilson]].
Εκτός από μια πραγματεία περί πλατείες σε αριθμητική πρόοδο από τον [[Fibonacci]] - ο οποίος έζησε και σπούδασε στη Βόρεια Αφρική και στην Κωνσταντινούπολη κατά τα χρόνια διαμόρφωσης του, ca. 1175-1200 - η θεωρία για τους μη-αριθμους έγινε στη δυτική Ευρώπη κατά τη διάρκεια του Μεσαίωνα. Θέματα άρχισαν να αλλάζουν στην Ευρώπη στα τέλη της [[Αναγέννηση]], χάρη σε μια ανανεωμένη μελέτη των έργων της ελληνικής αρχαιότητας. Ένας καταλύτης ήταν η διόρθωση κειμένων και μετάφραση στα Λατινικά του Διοφάντου'' [[Αριθμητικά]]'' ([[Claude Gaspard de Bachet Méziriac | Bachet]],το 1621, μετά από μια πρώτη προσπάθεια [[Guilielmus Xylander | Xylander]], 1575).
=== Πρόωρη σύγχρονη θεωρία αριθμού ===
==== ==== Fermat
[[Image:Pierre de Fermat.png|thumb|right|upright|Pierre de Fermat]]
Ο [[Pierre de Fermat]] (1601-1665) δεν δημοσίευσε τα γραπτά του.Συγκεκριμένα, το έργο του σχετικά με την θεωρία αριθμών περιέχεται σχεδόν εξ ολοκλήρου σε επιστολές προς μαθηματικούς και σε ιδιωτικές σημειώσεις περιθωρίου {{SFN | Weil | 1984 | pp = 45 & ndash ? 46}} Δεν έγραψε σχεδόν καμμία αποδείξη στη θεωρία αριθμών,δεν είχε μοντέλα στον κλάδο αυτό </ref> {{harvnb | Weil | 1984 | p = 118}}.. Αυτό ήταν περισσότερο στην θεωρία αριθμών από ό, τι σε άλλους κλάδους (παρατήρηση {{harvnb | Mahoney | 1994 | p = 284}}). Δικές του αποδείξεις Bachet ήταν "γελοία αδέξια" {{harv | Weil | 1984 | p = 33}} </ ref> Έκανε την επανειλημμένη χρήση της [[μαθηματικής επαγωγής]], με την εισαγωγή της μεθόδου της [[άπειρη κάθοδο.]].
Ένα από τα πρώτα ενδιαμφερόντων του Fermat ήταν ο [[τέλειος αριθμός]] s (που εμφανίζονται σε Euclid,'' Στοιχεία'' IX) και οι [[φιλικοί αριθμοί ]]? </ref Group=note> Perfect και ιδιαίτερα οι φιλικό αριθμοί οι οποιοι έχουν μικρό ή καθόλου ενδιαφέρον στις μέρες μας. Το ίδιο δεν ίσχυε στο μεσαίωνα - είτε στη Δύση ή τον αραβόφωνων κόσμο - εν μέρει λόγω της σημασίας που αποδίδεται σε αυτούς από το Neopythagorean (και ως εκ τούτου μυστικιστική) [[Νικομάχου του Γερασηνού | Νικομάχου]] (περ. 100 CE), ο οποίος έγραψε ένα πρωτόγονο αλλά με επιρροή »[[Εισαγωγή στην Αριθμητική]]". Βλ. {{harvnb | van der Waerden | 1961 | loc = Ch. IV}}. </ Ref> αυτό τον οδήγησε να εργαστεί στο ακέραιο [[διαιρέτης]] s, η οποία ήταν από την αρχή μεταξύ των θεμάτων της
αλληλογραφία (1636 και μετά) που τον έφερε σε επαφή με τη μαθηματική κοινότητα της ημέρας </ref> {{harvnb | Mahoney | 1994 | pp = 48, 53-54}}.. Τα πρώτα θέματα της αλληλογραφίας του Φερμά περιλαμβάνουν διαιρέτες ("μέρη δείγμα») και πολλά θέματα εκτός της θεωρία αριθμών.Δείτε τη λίστα με επιστολή του Fermat σε Roberval, 22.IX.1636, {{harvnb | Βυρσοδεψείο | Henry | 1891 | loc = νοί. II, σελ. 72, 74}}, αναφέρεται στην {{harvnb | Mahoney | 1994 | p = 54}} </ ref> Είχε ήδη προσεκτικά μελετηθεί ο [[Claude Gaspard de Bachet Méziriac | Bachet.]] S 'έκδοση του Διόφαντου {{SFN | Weil | 1984 | pp = 1-2}} από το 1643, τα συμφέροντά του είχαν μετατοπιστεί σε μεγάλο βαθμό στα Diophantine προβλήματα και τα ποσά των τετραγώνων {{SFN | Weil | 1984 | p = 53}} (επίσης να αντιμετωπίζονται με τις θεωρείς του Διόφαντος ).
Επιτεύγματα του Φερμά στην αριθμητική περιλαμβάνουν:
* [[Μικρό θεώρημα του Φερμά]] (1640), </ref> {{harvnb | Βυρσοδεψείο | Henry | 1891 | loc = Vol. II, p. 209}}, Επιστολή XLVI από Fermat σε Frenicle, 1640,
αναφέρεται στην {{harvnb | Weil | 1984 | p = 56}} </ ref> αναφέροντας ότι, αν'' ένα'' δεν είναι διαιρετό από μια προνομιακή'' p'', τότε <math>\scriptstyle a^{p-1} \equiv 1 \pmod p.</math><ref group=note>.Εδώ, ως συνήθως, δίνονται δύο ακέραιοι'' Α'' και'' β'' και ένα μη μηδενικό ακέραιο'' m'' , γράφουμε <math>\scriptstyle a \equiv b \pmod m</math> (διαβάζεται ως "'' a'' είναι σύμφωνες με'' β'' modulo'' m''") να σημαίνει ότι'' m '«χωρίζει'' a'' -'' β'', ή, ό, τι είναι η ίδια,'' Α'' και'' β'' αφήνουν το ίδιο υπόλοιπο όταν διαιρεθεί με'' m''. Ο συμβολισμός αυτός είναι στην πραγματικότητα πολύ αργότερα από ό, τι Fermat Εμφανίζεται για πρώτη φορά στο τμήμα 1 του [[Gauss]] 's [[Disquisitiones Arithmeticae]].Το μικρό θεώρημα του Φερμά είναι συνέπεια του [[θεώρηματος Lagrange (θεωρία ομάδας) | γεγονότος]] ότι η [Τάξης της [(θεωρία ομάδας) | παραγγελία]] ενός στοιχείου της [[Ομάδας (μαθηματικών) | Ομάδα]] διαιρεί την [τάξη [(θεωρία ομάδας) | παραγγελία]] τών [[Ομάδων (μαθηματικά) | ομάδα]]. Η σύγχρονη απόδειξη θα ήταν μέσα στο Φερμά (και μάλιστα δόθηκε αργότερα από τον Euler), αν και η σύγχρονη έννοια της ομάδας ήρθε πολύ μετά Fermat και Euler. (Βοηθά να ξέρεις ότι οι αντίστροφες υπάρχουν ''modulo p'' (δηλαδή, δίνεται'' a'' δεν διαιρείται με μια προνομιακή'' p'', υπάρχει ένας ακέραιος'' Χ'', έτσι ώστε <math>\scriptstyle x a \equiv 1 \pmod p</math> αυτό το γεγονός (το οποίο, στη σύγχρονη γλώσσα, κάνει τα υπόλοιπα m''mod p'' σε μια ομάδα, και το οποίο ήταν ήδη γνωστό ότι ο [[Αριαμπάτα | Αριαμπάτα]]? δείτε [[# Indian School: Αριαμπάτα, Brahmagupta, Bhaskara | παραπάνω]]) ήταν εξοικειωμένοι με Fermat χάρη στην ανακάλυψη της από τον [[Claude Gaspard de Bachet Méziriac | Bachet]] {{harv | Weil | 1984 | p = 7}}. Weil πηγαίνει για να πει ότι Fermat θα έχουν αναγνωρίσει ότι το επιχείρημα Bachet είναι ουσιαστικά ο αλγόριθμος του Ευκλείδη. </ ref>
* Αν'' Α'' και'' Β'' είναι coprime, τότε <math>\scriptstyle a^2 + b^2</math> δεν είναι διαιρετό από κάθε prime σύμφωνες με -1 modulo 4 </ref> {{harvnb | Βυρσοδεψείο | Henry | 1891 | loc = Vol. II, p. 204}}, αναφέρεται στον {{harvnb | Weil | 1984 | p = 63}}. Όλες οι ακόλουθες αναφορές από το'' Βαρειά Φερμά Opera'' έχουν ληφθεί από τον {{harvnb | Weil | 1984 | loc = Chap. II}}. Το πρότυπο Βυρσοδεψείο & Henry έργο που περιλαμβάνει την αναθεώρηση του Φερμά μεταθανατών'' Βαρειά Opera Mathematica'' αρχικά παρασκευάστηκε από το γιο του {{harv | Fermat | 1679}} </ ref> και'' Κάθε προνομιακή συμφονία με 1 modulo 4''. μπορεί να γραφτεί στη μορφή <math>\scriptstyle a^2 + b^2</math> {{SFN |. Βυρσοδεψείο | Henry | 1891 | loc = Vol. II, p. 213}} Αυτές οι δύο δηλώσεις χρονολογούνται επίσης και από το 1640.Το 1659,ο Fermat δήλωσε στην Huygens ότι είχε αποδείξει την τελευταία δήλωση του, [μέθοδος [καθόδου]] {{SFN | Βυρσοδεψείο | Henry | 1891 | loc = Vol.. II, p. 423}} Fermat και Frenicle έκαναν επίσης κάποια εργασία με (μερικές από τις εσφαλμένες ή μη αυστηρές) {{SFN | Weil | 1984 | pp = 80, 91-92}} σε άλλες τετραγωνικές μορφές.
Ο Fermat θέτει το πρόβλημα της επίλυσης <math>\scriptstyle x^2 - N y^2 = 1</math> ως πρόκληση για τους Αγγλους μαθηματικους (1657). Το πρόβλημα λύθηκε μέσα σε λίγους μήνες από Wallis και Brouncker {{SFN | Weil | 1984 | p = 92}}.Ο Fermat θεωρησε την λύση τους έγκυρη, αλλά επεσήμανε ότι είχε παράσχει έναν αλγόριθμο χωρίς απόδειξη (όπως είχαν Jayadeva και Bhaskara, αν και ο Fermat ποτέ δεν θα το γνωρίζε αυτό.) Δηλώνει ότι η απόδειξη μπορεί να βρεθεί από την κάθοδο.
*Ο Fermat ανάπτυξε μεθόδους για (να κάνει ό, τι στην άποψη μας) την εξεύρεση σημείων σε καμπύλες [[γένος]] 0 και 1. Όπως και στο Διόφαντο, υπάρχουν πολλές ειδικές διαδικασίες και μια εφαπτόμενη κατασκευή, αλλά όχι τη χρήση ενός secant κατασκευής {{SFN |. Weil | 1984 | loc = Ch. II, αίρεση. XV και XVI}}
*Ο Fermat δηλώνει και αποδεικνύει (από κάθοδο) στο προσάρτημα Παρατηρήσεις'' για Διόφαντος'' (Obs. XLV) {{SFN | Βυρσοδεψείο | Henry | 1891 | loc = Vol. Ι, σελ. 340-341}} ότι <math>\scriptstyle x^{4} + y^{4} = z^{4}</math> δεν έχει μη τετριμμένες λύσεις στους ακέραιους.Ο Fermat ανέφερε επίσης στους ανταποκριτές του ότι <math>\scriptstyle x^3 + y^3 = z^3</math> δεν έχει μη τετριμμένες λύσεις, και ότι αυτό θα μπορούσε να αποδειχθεί από την κάθοδο {{SFN |. Weil | 1984 | p = 115}}. Η πρώτη γνωστή απόδειξη οφείλεται σε Euler (1753 και μάλιστα με την κάθοδό) {{SFN | Weil | 1984 | pp = 115-116}}.
Ο ισχυρισμός του Φερμά ("[[Το τελευταίο θεώρημα του Φερμά]]") το οποίο δείχνει ότι δεν υπάρχουν λύσεις που να
<math>\scriptstyle x^n + y^n = z^n</math> για όλους <math>\scriptstyle n\geq 3</math> (γεγονός που οι μόνες γνωστές αποδείξεις από τις οποίες ήταν εντελώς πέρα από τις μεθόδους του) εμφανίζεται μόνο στις σημειώσεις του στο περιθώριο του αντιγράφου του Διοφάντου ο ίδιος ποτέ δεν ισχυρίστηκε αυτό σε άλλους {{SFN | Weil | 1984 | p = 104}} και ως εκ τούτου δεν θα είχαν ανάγκη να υποχωρούν, αν βρεθεί κάποιο λάθος στο έργο του υποτιθέμενη απόδειξη.
==== Euler ====
[[Image:Leonhard Euler.jpg|thumb|upright|Leonhard Euler]]
| |||