Ορίζουσα: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
Γραμμή 323:
===Μπλοκ πίνακες===
Έστω ότι οι ''A'', ''B'', ''C'', και ''D'' είναι πίνακες διάστασης (''n'' × ''n''), (''n'' × ''m''), (''m'' × ''n''), και (''m'' × ''m''), αντίστοιχα. Τότε
:<math>\det\begin{pmatrix}A& 0\\ C& D\end{pmatrix} = \det\begin{pmatrix}A& B\\ 0& D\end{pmatrix} = \det(A) \det(D) .</math>
Αυτό μπορεί να φανεί από τον [[τύπος του Leibniz|τύπο του Leibniz]] ή με επαγωγή στο ''n''. Όταν ο ''Α'' είναι [[αντιστρέψιμος πίνακας|αντιστρέψιμος]], χρησιμοποιούμε την ακόλουθη ταυτότητα
:<math>\begin{pmatrix}A& B\\ C& D\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}A& 0\\ C& I\end{pmatrix} \begin{pmatrix}I& A^{-1} B\\ 0& D - C A^{-1} B\end{pmatrix}</math>
που οδηγεί στην
:<math>\det\begin{pmatrix}A& B\\ C& D\end{pmatrix} = \det(A) \det(D - C A^{-1} B) .</math>
Όταν ο ''D'' είναι αντιστρέψιμος, μια παρόμοια ταυτότητα με <math>\det(D)</math> που υπολογίζεται ανάλογα,<ref>Αυτές οι ταυτότητες βρίσκονται στην http://www.ee.ic.ac.uk/hp/staff/dmb/matrix/proof003.html</ref> η οποία είναι,
:<math>\det\begin{pmatrix}A& B\\ C& D\end{pmatrix} = \det(D) \det(A - B D^{-1} C) .</math>
Όταν τα μπλοκς είναι τετραγωνικοί πίνακες του ίδιου βαθμού υπάρχουν περισσότεροι τύποι. Για παράδειγμα, αν οι ''C'' και ''D'' αντιμετατεθούν (δηλ., ''CD'' = ''DC''), τότε ο ακόλουθος τύπος αντίστοιχος με της ορίζουσας ενός 2×2 πίνακα είναι:<ref>Οι αποδείξεις δίνονται στο J.R. Silvester, Determinants of Block Matrices, Math. Gazette, 84 (2000), σ. 460–467, διαθέσιμες στην http://www.jstor.org/stable/3620776</ref>
:<math>\det\begin{pmatrix}A& B\\ C& D\end{pmatrix} = \det(AD - BC).</math>
==Παραπομπές==
| |||