Τοπολογικός χώρος: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Στην [[Τοπολογία]] και σε συναφείς κλάδους των [[Μαθηματικά|μαθηματικών]], ένας '''τοπολογικός χώρος''' είναι ένα σύνολο από [[Σημείο|σημεία]], μαζί με ένα σύνολο από [[Γειτονιά (μαθηματικά)|γειτονιές]] για κάθε σημείο, που ικανοποιεί ένα σύνολο από [[Αξίωμα|αξιώματα]] που αφορούν τα σημεία και τις γειτονιές. Ο ορισμός ενός τοπολογικού χώρου στηρίζεται στην [[Θεωρία συνόλων]] και είναι η πιο γενική έννοια του μαθηματικού "χώρου" που επιτρέπει τον ορισμό εννοιών όπως η [[Συνέχεια συνάρτησης|συνέχεια]], η [[συνεκτικότητα]], και η [[Όριο ακολουθίας|σύγκλιση]]. Άλλοι χώροι, όπως οι [[πολλαπλότητα|πολλαπλότητες]] και οι [[Μετρικός χώρος|μετρικοί χώροι]], είναι ειδικές περιπτώσεις τοπολογικών χώρων με επιπλέον δομές και περιορισμούς. Όντας τόσο γενικοί, οι τοπολογικοί χώροι είναι μία κεντρική ενοποιητική έννοια και εμφανίζονται σχεδόν σε όλους τους κλάδους των σύγχρονων μαθηματικών. Ο κλάδος των μαθηματικών που μελετά τους τοπολογικούς χώρους ονομάζεται [[τοπολογία σημείων]] ή [[γενική τοπολογία]].

Η χρησιμότητα της έννοιας μιας τοπολογίας δείχνεται από το γεγονός ότι υπάρχουν διάφοροι ισοδύναμοι ορισμοί αυτής της δομής. Η πιο συχνά χρησιμοποιούμενη, και η πιο κομψή, είναι εκείνη που βασίζεται στον όρο των [[ανοιχτό σύνολο|ανοιχτών συνόλων]], αλλά η πιο διαισθητική είναι εκείνη που βασίζεται στον όρο των [[Γειτονιά (μαθηματικά)|γειτονιών]] και γι αυτό δίνουμε αυτή πρώτη.

Η συλλογή των ανοιχτών συνόλων τ τότε επίσης ονομάζεται μία ''τοπολογία'' στο ''Χ'', η, αν απαιτείται μεγαλύτερη ακρίβεια, μία '''τοπολογία ανοιχτού συνόλου'''. Τα σύνολα στο τ ονομάζονται [[ανοιχτό σύνολο|ανοιχτά σύνολα]], και τα [[συμπληρωματικό σύνολο|συμπληρωματικά]] στο ''Χ'' ονομάζονται [[κλειστό σύνολο|κλειστά σύνολα]]. Ένα υποσύνολο του ''Χ'' μπορεί να μην είναι κλειστό ούτε ανοιχτό, ή μπορεί να είναι ή κλειστό, ή ανοιχτό, ή και τα δύο.

Υπάρχουν πολλοί άλλοι ισοδύναμοι τρόποι να ορίσουμε έναν τοπολογικό χώρο: με άλλα λόγια, οι έννοιες της γειτονιάς ή του ανοιχτού συνόλου μπορεί να ανακατασκευαστούν από τα άλλα σημεία εκκίνησης και να ικανοποιούν τα σωστά αξιώματα. Για παράδειγμα, χρησιμοποιώντας [[νόμοι de Morgan|τους νόμους de Morgan]], τα παραπάνω αξιώματα ορισμού ανοιχτών συνόλων γίνονται αξιώματα κλειστών συνόλων:

Ένας άλλος τρόπος να ορίσουμε έναν τοπολογικό χώρο είναι χρησιμοποιώντας τα [[αξιώματα κλεισίματος του Kuratowski]], τα οποία ορίζουν τα κλειστά σύνολα ως τα [[σταθερό σημείο|σταθερά σημεία]] ενός [[Τελεστής|τελεστή]]

Ένα [[δίχτυ]] είναι μία γενίκευση της έννοιας της [[Ακολουθία|ακολουθίας]]. Μία τοπολογία είναι εντελώς καθορισμένη αν για κάθε δίκτυ στο ''Χ'' το σύνολο από τα [[σημείο συσσώρευσης|σημεία συσσώρευσης]] του ορίζεται.

Μία ποικιλία τοπολογιών μπορεί να τοποθετηθεί σε ένα σύνολο για να σχηματιστεί ένας τοπολογικός χώρος. Όταν κάθε σύνολο σε μία τοπολογία τ₁ είναι επίσης μία τοπολογία τ₂ και τ₁ είναι ένα υποσύνολο της τ₂, λέμε ότι η τ₂ είναι ''[[σύγκριση τοπολογιών|λεπτότερη]]'' από την τ₁, και η τ₁ είναι ''[[σύγκριση τοπολογιών|χονδρότερη]]'' από την τ₂. Μία απόδειξη που στηρίζεται μόνο στην ύπαρξη ορισμένων ανοιχτών συνόλων θα ισχύει επίσης για κάθε λεπτότερη τοπολογία, και όμοια μία απόδειξη που στηρίζεται μόνο σε ορισμένα σύνολα που δεν είναι ανοιχτά εφαρμόζονται σε οποιαδήποτε χονδρότερη τοπολογία. Οι όροι ''μεγαλύτερος'' και ''μικρότερος'' χρησιμοποιούνται μερικές φορές στη θέση τou λεπτότερος και πιο χονδρότερος, αντίστοιχα. Οι όροι ''ισχυρότερος'' και ''ασθενέστερος'' χρησιμοποιούνται επίσης στη βιβλιογραφία, αλλά με μικρή συμφωνία σχετικά με την έννοια, έτσι κάποιος πρέπει πάντα να είναι σίγουρος για τη σύμβαση του συγγραφέα όταν διαβάζει.

Στη [[Θεωρία κατηγοριών]],'''Top''',στην [[κατηγορία των τοπολογικών χώρων]] με τοπολογικούς χώρους όπως [[αντικείμενο|αντικείμενα]] και συνεχείς συναρτήσεις όπως [[μορφισμός|μορφισμοί]] είναι ένα από τις θεμελιώδης [[|κατηγορία|κατηγορίες]] των μαθηματικών. Η προσπάθεια να ταξινομήσει τα αντικείμενα αυτής της κατηγορίας (μέχρι τον ομοιομορφισμό) από [[σταθερά|σταθερές]] έχει θέσει και παράξει ολόκληρες περιοχές της έρευνα, όπως [[θεωρία Ομοτοπία|ομοτοπίας]], [[θεωρία ομολογίας]]. και [[θεωρίας-Κ]], για να ονομάσουμε απλά κάποιες.

Ένα δοθέν σύνολο μπορεί να έχει πολλές διαφορετικές τοπολογίες. Αν σε ένα σύνολο δοθεί μια διαφορετική τοπολογία, θεωρείται ως διαφορετικός τοπολογικός χώρος.Σε οποιοδήποτε σύνολο μπορεί να δοθεί η [[διακριτή τοπολογία]] στην οποία κάθε υποσύνολο είναι ανοιχτό. Οι μόνες συγκλίνουσες ακολουθίες ή δίχτυα σε αυτήν την τοπολογία είναι εκείνα που είναι τελικά σταθερά. Επίσης, σε οποιοδήποτε σύνολο μπορεί να δοθεί η [[τετριμμένη τοπολογία]] (που ονομάζεται επίσης αδιάκριτη τοπολογία), στην οποία μόνο το κενό σύνολο και όλος ο χώρος είναι ανοιχτά. Κάθε ακολουθία και δίχτυ σε αυτήν την τοπολογία συγκλίνει σε κάθε σημείο του χώρου. Αυτό το παράδειγμα δείχνει ότι σε γενικούς τοπολογικούς χώρους, τα όρια των ακολουθιών δε χρειάζεται να είναι μοναδικά. Ωστόσο, συχνά τοπολογικοί χώροι πρέπει να είναι [[Hausdorff χώρος|Hausdorff χώροι]] όπου τα οριακά σημεία είναι μοναδικά.

Υπάρχουν πολλοί τρόποι ορισμού μίας τοπολογίας για το '''R''', το σύνολο των [[Πραγματικός αριθμός|πραγματικών αριθμών]]. Η πρότυπη τοπολογία για το '''R''' παράγεται από τα [[Διάστημα (μαθηματικά)|ανοιχτά διαστήματα]]. Το σύνολο όλων των ανοιχτών διαστημάτων σχηματίζει [[βάση]] ή βάσεις για την τοπολογία, πράγμα που σημαίνει ότι κάθε ανοιχτό σύνολο είναι μία ένωση κάποιας συλλογής συνόλων από τη βάση. Ειδικότερα, αυτό σημαίνει ότι ένα σύνολο είναι ανοιχτό αν υπάρχει ένα ανοιχτό διάστημα μη μηδενικής ακτίνας για κάθε σημείο του συνόλου. Γενικότερα, οι [[Ευκλείδιος χώρος|Ευκλείδιοι χώροι]] '''R'''^''n'' μπορεί να δίνουν μία τοπολογία. Στην συνηθισμένη τοπολογία για το '''R'''^''n'' τα βασικά ανοιχτά σύνολα είναι οι ανοιχτές [[μπάλες]]. Όμοια, '''C''', το σύνολο των [[Μιγαδικός αριθμός|μιγαδικών αριθμών]], και '''C'''^''n'' έχει μία πρότυπη τοπολογία στην οποία τα βασικά ανοιχτά σύνολα είναι ανοιχτές μπάλες.

Σε κάθε [[Μετρικός χώρος|μετρικό χώρο]] μπορεί να δοθεί μία μετρική τοπολογία, στην οποία τα βασικά ανοιχτά σύνολα είναι ανοιχτές μπάλες που ορίζονται από τον μετρικό. Αυτή είναι μία πρότυπη τοπολογία για οποιοδήποτε [[νόρμα διανυσματικός χώρος|νόρμα διανυσματικό χώρο]]. Για έναν πεπερασμένης διάστασης [[Διανυσματικός χώρος|διανυσματικό χώρο]] αυτή η τοπολογία είναι η ίδια για όλες της νόρμες (κανόνες).

Η [[τοπολογία Zariski]] ορίζεται αλγεβρικά στο [[φάσμα ενός δακτυλίου]] ή μιας [[αλγεβρική ποικιλία|αλγεβρικής ποικιλίας]]. Στον '''R'''^''n'' ή στον '''C'''^''n'', τα κλειστά σύνολα της τοπολογίας Zariski είναι τα [[Σύνολο λύσεων|σύνολα λύσεων]] των συστημάτων των [[Πολυώνυμο|πολυωνυμικών]] εξισώσεων.

Ένα [[γραμμικό γράφημα]] έχει μία φυσική τοπολογία που γενικεύει πολλές από τις γεωμετρικές πτυχές των [[Θεωρία γράφων|γραφημάτων]] με [[κορυφή|κορυφές]] και [[Γράφος|ακμές]].

Υπάρχουν πολλές τοπολογίες σε οποιοδήποτε δοθέν [[πεπερασμένο σύνολο]]. Τέτοιοι χώροι ονομάζονται [[πεπερασμένος τοπολογικός χώρος|πεπερασμένοι τοπολογικοί χώροι]]. Πεπερασμένοι χώροι χρησιμοποιούνται κάποιες φορές για να παρέχουν παραδείγματα ή αντιπαραδείγματα σε εικασίες για τους τοπολογικούς χώρους γενικότερα.

Σε κάθε υποσύνολο ενός τοπολογικού χώρου μπορεί να δοθεί η [[υποχώρου τοπολογία]] στην οποία τα ανοιχτά σύνολα είναι τομές των ανοιχτών συνόλων του μεγαλύτερου χώρου με το υποσύνολο. Για οποιαδήποτε [[οικογένεια με δείκτες]] ενός τοπολογικού χώρου, στο προϊόν μπορεί να δοθεί η [[τοπολογία προϊόντος]], η οποία παράγεται από τις αντίστροφες εικόνες των ανοιχτών συνόλων των παραγόντων κάτω από τις αντιστοιχήσεις [[|προβολή|προβολών]]. Για παράδειγμα, στα πεπερασμένα προϊόντα, μία βάση για το προϊόν τοπολογίας αποτελείται από όλα τα προϊόντα των ανοιχτών συνόλων. Για τα πεπερασμένα προϊόντα, υπάρχει η πρόσθετη απαίτηση ότι σε ένα βασικό ανοιχτό σύνολο, όλα εκτός τελικά από πολλές προβολές τους είναι ολόκληρος ο χώρος.

Ένας [[χώρος πηλίκο]] ορίζεται ως εξής: αν ''Χ'' είναι ένας τοπολογικός χώρος και ''Υ'' είναι ένα συνολο, και αν ''f'' : ''X''→ ''Y'' είναι μία [[επιρριπτική]] [[συνάρτηση]], τότε η τοπολογία πηλίκο για το ''Y'' είναι μία συλλογή υποσυνόλων του ''Υ'' που έχει ανοιχτές [[αντίστροφες εικόνες]] κάτω από την ''f''. Με άλλα λόγια, η τοπολογία πηλίκο είναι η λεπτότερη τοπολογία για το ''Y'' για το οποίο η ''f'' είναι συνεχής. Ένα συνηθισμένο παράδειγμα μίας τοπολογίας πηλίκου είναι μία [[Σχέση ισοδυναμίας|σχέση ισοδυναμίας]] ορίζεται για τον τοπολογικό χώρο ''Χ''. Η αντιστοιχία ''f'' είναι η φυσική προβολή πάνω στο σύνολο των [[κλάση ισοδυναμίας|κλάσεων ισοδυναμίας]].

Τοπολογικοί χώροι μπορούν να ταξινομηθούν γενικά, [[μέχρι]] τους ομοιομορφισμούς, από τις [[τοπολογική ιδιότητα|τοπολογικές ιδιότητες]] τους. Μία τοπολογική ιδιότητα είναι μία ιδιότητα των χώρων που είναι αναλλοίωτη από τους ομοιομορφισμούς. Για να αποδείξουμε ότι δύο χώροι δεν είναι ομοιομορφικοί αρκεί να βρεθεί μία τοπολογική ιδιότητα που δεν τη μοιράζονται. Παραδείγματα τέτοιων ιδιοτήτων είναι [[ορθότητα]], [[συμπαγές]], και διάφορα [[αξιώματα διαχωρισμού]]

Βλέπε το άρθρο ''[[τοπολογική ιδιότητα|τοπολογικές ιδιότητες]]'' για περισσότερες λεπτομέρειες και παραδείγματα

Για οποιαδήποτε [[αλγεβρικό αντικείμενο|αλγεβρικά αντικείμενα]] μπορούμε να εισαγάγουμε την διακριτή τοπολογία, σύμφωνα με την οποία οι αλγεβρικές πράξεις είναι συνεχείς συναρτήσεις. Για οποιαδήποτε τέτοια δομή που δεν είναι πεπερασμένη, συχνά έχουμε μία φυσική τοπολογία συμβατή με τις αλγεβρικές πράξεις, με την έννοια ότι οι αλγεβρικές πράξεις συνεχίζουν να είναι συνεχείς. Αυτό οδηγεί σε έννοιες όπως [[τοπολογική ομάδα|τοπολογικές ομάδες]],[[τοπολογικός διανυσματικός χώρος|τοπολογικοί διανυσματικοί χώροι]], [[τοπολογικός δακτύλιος|τοπολογικοί δακτύλιοι]] και [[τοπικό πεδίο|τοπικά πεδία]].

* [[Εγγύτης χώρος|Εγγύτεις χώροι]] παρέχουν μια έννοια της εγγύτητας των δύο συνόλων.

* [[ΣχέσηΜετρικός ισοδυναμίαςχώρος|Μετρικοί χώροι]] ενσωματώνουν μία [[Μετρική (μαθηματικά)|μετρική]], μια ακριβή έννοια της απόστασης μεταξύ των σημείων.

* [[Ενιαλιος χώρος|Ενιαίοι χώροι]] αξιωματοποιούν διατάσσοντας την απόσταση μεταξύ των κρίσιμων σημείων.

* [[χώρος Cauchy|χώροι Cauchy]] αξιωματοποιούν τη δυνατότητα να ελέγξετε αν ένα δίχτυ είναι [[Cauchy]]. Οι Cauchy χώροι αποτελούν ένα γενικό πλαίσιο για τη μελέτη [[ολοκλήρωμα|ολοκληρωμάτων]]

* [[χώρος σύγκλισης|χώροι Σύγκλισης]] εγκλωβίζουν μερικά από τα χαρακτηριστικά της σύγκλισης των [[φίλτρων]].

* [[Grothendieck θέση|Grothendieck θέσεις]] είναι [[κατηγορία|κατηγορίες]] με επιπρόσθετα στοιχεία αξιωματοποιώντας αν μια οικογένεια βέλη καλύπτει ένα αντικείμενο. Οι θέσεις είναι μια γενική ρύθμιση για τον καθορισμό των [[τροχαλία|τροχαλιών]].