Τανυστής: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
μΧωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
|||
Γραμμή 33:
===Σαν πολυδιάστατες διατάξεις===
Ακριβώς όπως ένα βαθμωτό πεδίο περιγράφεται από έναν μόνο αριθμό και ένα διάνυσμα σε σχέση με μία δεδομένη βάση περιγράφεται από μια μονοδιάστατη σειρά, έτσι και οποιαδήποτε τανυστής σε σχέση με μία βάση περιγράφεται από μία πολυδιάστατη διάταξη. Τα νούμερα στη διάταξη είναι γνωστά ως ''βαθμωτές συνιστώσες'' του τανυστή ή απλά οι ''συνιστώσες'' του. Αυτές υποδηλώνονται από δείκτες που δείχνουν τη θέση τους στη διάταξη, σε άνω και κάτω δείκτες, μετά το συμβολικό όνομα του τανυστή. Ο συνολικός αριθμός των δεικτών που απαιτείται για να επιλογεί ξεχωριστά η κάθε συνιστώσα, είναι ίσος με τη διαστατικότητα της διάταξης και ονομάζεται
Ακριβώς όπως οι συνιστώσες ενός διανύσματος αλλάζουν όταν αλλάζει η βάση του διανυσματικού χώρου, τα στοιχεία που εισάγονται σε ένα τανυστή θα πρέπει επίσης να αλλάζουν κάτω από ένα τέτοιο μετασχηματισμό. Κάθε τανυστής είναι εφοδιασμένος με ένα ''νόμο μετασχηματισμού'' που προσδιορίζει επακριβώς πως οι συνιστώσες του τανυστή ανταποκρίνονται σε μία αλλαγή βάσης. Οι συνιστώσες ενός διανύσμαυτος μπορούν να ανταποκρίνονται με δύο χαρακτηριστικούς τρόπους σε μία αλλαγή βάσης (συναλλοίωτος και ανταλλοίωτος διανυσμάτων), όπου τα νέα διανύσματα βάσης <math>\mathbf{\hat{e}}_i </math> εκφράζονται σε όρους των παλιών διανυσμάτων βάσης <math>\mathbf{e}_j </math> σαν
:<math>\mathbf{\hat{e}}_i = \sum_j R^j_i \mathbf{e}_j = R^j_i \mathbf{e}_j,</math>
όπου ''R''<sub>''i''</sub><sup>'' j''</sup> είναι ένας πίνακας μετασχηματισμού, ενώ στη δεύτερη έκφραση το σύμβολο της πρόσθεσης παραλείπεται (μια βολική σύμβαση που εισήχθηκε από τον [[Einstein]] που θα χρησιμοποιηθεί σε όλο αυτό το άρθρο). Οι συνιστώσες, ''v''<sup>''i''</sup>, ενός συνηθισμένου διανύσματος (ή διανύσματος στήλης) '''v''', μετασχηματίζονται με τον '''αντίστροφο''' του πίνακα ''R'',
:<math>\hat{v}^i = (R^{-1})^i_j v^j,</math>
όπου το καπέλο δηλώνει τις συνιστώσες στη νέα βάση, ενώ οι συνιστώσες, ''w''<sub>''i''</sub>,ενός συν-διανύσματος(ή διάνυσμα σειράς), '''w''' μετασχηματίζεται με τον ίδιο τον πίνακα ''R'',
:<math>\hat{w}_i = R_i^j w_j.</math>
==Σημειώσεις==
| |||