Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων του «Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων»

μ
καμία σύνοψη επεξεργασίας
(Προσθήκη προτύπου)
μ
=== Μήκος καμπύλης ===
 
Εν γένει, το μήκος μίας καμπύλης μπορεί να υπολογισθεί μέσω ενός ολοκληρώματος αν παραμετρήσουμεπαραμετροποιήσουμε τητην καμπύλη αυτή με μία αυθαίρετη παράμετρο λ. Συγκεκριμένα, αν υποθέσουμε ότι οι συντεταγμένες (σε δύο διαστάσεις) κάθε σημείου μίας καμπύλης είναι συναρτήσεις της παραμέτρου λ και ότι κάθε σημείο αντιστοιχεί σε μία συγκεκριμένη τιμή της παραμέτρου, τότε το μήκος μεταξύ δύο σημείων Α και Β της καμπύλης θα ισούται με
 
: <math> L_{AB}=\int_{A}^{B}ds=\int_{a}^{b}\sqrt{\left(\frac{x(\lambda)}{d\lambda}\right)^2+\left(\frac{y(\lambda)}{d\lambda}\right)^2}\ d\lambda </math>
 
όπου υποθέσαμε ότι οι τιμές της παραμέτρου λ στα σημεία Α και Β είναι a και b αντίστοιχα. Επίσης, ds είναι το στοιχειώδες μήκος της καμπύλης. Σε καρτεσιανές συντεταγμένες, το στοιχειώδες μήκος μίας καμπύλης σχετίζεται ισούται με
 
: <math> ds^2=dx^2+dy^2 \ \ \ </math>
: <math> x^2+y^2=R^2\ , </math>
 
συνεπώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε ως παράμετρο για τις συντεταγμένες (x,y) κάθε σημείου τη γωνία θ που σχηματίζει η ακτίνα θέσης κάθε σημείου με τον άξονα x. Ένας τρόπος να παραμετρήσουμεπαραμετροποιήσουμε τις συντεταγμένες κάθε σημείου του κύκλου είναι μέσω των εξισώσεων
 
: <math> x=R\cos{\theta}, \ \ \ y=R\sin{\theta} </math>
 
Είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι ο παραπάνω τρόπος παραμέτρησηςπαραμετροποίησης του προβλήματος ικανοποιεί τη συνθήκη x<sup>2</sup>+y<sup>2</sup>=R<sup>2</sup> για τον κύκλο. Αντικαθιστώντας στη σχέση που μας δίνει το μήκος καμπύλης με την παράμετρο θ να παίρνει τιμές από 0 έως 2π, βρίσκουμε ότι:
 
: <math> C=\int_{0}^{2\pi}\sqrt{(-R\sin{\theta})^2+(R\cos{\theta})^2} d\theta=\int_{0}^{2\pi}\sqrt{R^2(\sin^2{\theta}+\cos^2{\theta})}\ d\theta=2\pi R </math>
239

επεξεργασίες