Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
Προσθήκη προτύπου |
μΧωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
||
Γραμμή 61:
=== Μήκος καμπύλης ===
Εν γένει, το μήκος μίας καμπύλης μπορεί να υπολογισθεί μέσω ενός ολοκληρώματος αν
: <math> L_{AB}=\int_{A}^{B}ds=\int_{a}^{b}\sqrt{\left(\frac{x(\lambda)}{d\lambda}\right)^2+\left(\frac{y(\lambda)}{d\lambda}\right)^2}\ d\lambda </math>
όπου υποθέσαμε ότι οι τιμές της παραμέτρου λ στα σημεία Α και Β είναι a και b αντίστοιχα. Επίσης, ds είναι το στοιχειώδες μήκος της καμπύλης. Σε καρτεσιανές συντεταγμένες, το στοιχειώδες μήκος μίας καμπύλης
: <math> ds^2=dx^2+dy^2 \ \ \ </math>
Γραμμή 79:
: <math> x^2+y^2=R^2\ , </math>
συνεπώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε ως παράμετρο για τις συντεταγμένες (x,y) κάθε σημείου τη γωνία θ που σχηματίζει η ακτίνα θέσης κάθε σημείου με τον άξονα x. Ένας τρόπος να
: <math> x=R\cos{\theta}, \ \ \ y=R\sin{\theta} </math>
Είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι ο παραπάνω τρόπος
: <math> C=\int_{0}^{2\pi}\sqrt{(-R\sin{\theta})^2+(R\cos{\theta})^2} d\theta=\int_{0}^{2\pi}\sqrt{R^2(\sin^2{\theta}+\cos^2{\theta})}\ d\theta=2\pi R </math>
| |||