Φυσικός αριθμός: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
μ Disambiguated: δακτύλιος → Δακτύλιος (άλγεβρα) |
||
Γραμμή 50:
Αναλόγως, δεδομένου ότι η προσθήκη έχει οριστεί, ένας [[πολλαπλασιασμός]] × μπορεί να οριστεί μέσω {{nowrap|''a'' × 0 {{=}} 0}} και{{nowrap|''a'' × S(''b'') {{=}} (''a'' × ''b'') + ''a''}}. Αυτό μετατρέπεται ('''N'''<sup>*</sup>, ×) σε ενα ελεύθερο αντιμεταθετικό μονοειδές με ουδέτερο στοιχείο το 1. Μια γεννήτρια για αυτό το μονοειδές είναι το σύνολο των [[Πρώτος αριθμός|πρώτων αριθμών]]. Η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός είναι συμβατές πράξεις, οι οποίες εκφράζονται στην [[Άλγεβρα Μπουλ| επιμεριστική ιδιότητα]]:
{{nowrap|''a'' × (''b'' + ''c'') {{=}} (''a'' × ''b'') + (''a'' × ''c'')}}. Αυτές οι ιδιότητες της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού κάνουν τους φυσικούς αριθμούς ένα στιγμιότυπο του [[commutative]] [[semiring]]. Τα Semirings είναι μια αλγεβρική γενίκευση των φυσικών αριθμών όπου ο πολλαπλασιασμός δεν είναι απαραίτητα ευμετάβλητος. Η έλλειψη από αντίστροφες προσθέσεις, κάτι το οποίο είναι ισοδύναμο με το γεγονός ότι το '''N''' δεν είναι κλειστό υπό αφαίρεση, σημαίνει ότι το '''N''' ''δεν είναι'' [[Δακτύλιος (άλγεβρα)|δακτύλιος]]; αλλά είναι μια [[semiring]].
Εάν οι φυσικοί αριθμοί λαμβάνονται ως "εκτός του 0", και "ξεκινώντας από το 1", tοι ορισμοί των + και × είναι όπως παραπάνω,εκτός του ότι αρχίζουν με {{nowrap|''a'' + 1 {{=}} ''S''(''a'')}} και{{nowrap|''a'' × 1 {{=}} ''a''}}.
| |||