Γκέοργκ Κάντορ: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
μΧωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
|||
Γραμμή 1:
{{χωρίς παραπομπές|10|03|2012}}
{{επιμέλειαἓπιμέλεια μετάφρασης και μορφοποίηση}}
{{Κουτί_Πληροφοριών_Επιστημόνων
| όνομα = Γκέοργκ Κάντορ
Γραμμή 95:
H αρχή της θεωρίας συνόλων ως κλάδο των μαθηματικών χαρακτηρίζεται από μία δημοσίευση ενός άρθρου του Κάντορ το 1874 , "Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen" ("Σε μία ιδιοκτησία της συλλογής όλων των αλγεβρικών πραγματικών αριθμών"). Αυτό το άρθρο ήταν το πρώτο που εισήγαγε μία αυστηρή απόδειξη στην πρόταση ότι υπάρχουν περισσότερα από ένα είδος απείρου. Προηγουμένως, όλες οι άπειρες συλλογές είχε υποτεθεί σιωπηρά να είναι ισάριθμες (που σημαίνει το "ίδιο μέγεθος" ή ότι υπάρχει ο ίδιος αριθμός των στοιχείων).<ref>Για παράδειγμα, τα γεωμετρικά προβλήματα που θέτουν ο [[Γαλιλαίος Γαλιλέι]] και ο John Duns Scotus πρότειναν ότι όλα τα άπειρα σύνολα είναι ισάριθμα . Ο Κάντορ απέδειξε ότι η συλλογή των πραγματικών αριθμών και η συλλογή των θετικών δεν είναι ισάριθμες. Με άλλα λόγια, οι πραγματικοί αριθμοί δεν είναι μετρήσιμοι. Η απόδειξή του είναι πιο περίπλοκη από το πιο κομψό διαγώνιο όρισμα που έδωσε το 1844.</ref>. Οι υπερβατικοί αριθμοί κατασκευάστηκαν πρώτα από τον Joseph Liouville το 1844.
Ο Κάντορ εγκαθίδρυσε αυτά τα αποτελέσματα χρησιμοποιώντας δύο κατασκευές. Η πρώτη κατασκευή δείχνει πώς γράφονται οι πραγματικοί αλγεβρικοί αριθμοί ως μία [[ακολουθία]] ''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, ''a''<sub>3</sub>, .... Με άλλα λόγια, οι πραγματικοί αλγεβρικοί αριθμοί είναι μετρήσιμοι. Ο Κάντορ ξεκίνησε τη δεύτερη κατασκευή με μία σειρά πραγματικών αριθμών. Χρησιμοποιώντας αυτή την ακολουθία, κατασκεύασε έναν κιβωτισμό διανυσμάτων του οποίου η [[Τομή συνόλων|τομή]] περιλαμβάνει έναν πραγματικό αριθμό που δεν ανήκει στην ακολουθία. Από την κάθε σειρά των πραγματικών αριθμών μπορεί να κατασκευαστεί ένας πραγματικός που δεν ανήκει στην ακολουθία, οι πραγματικοί αριθμοί δεν μπορούν να γραφούν ως ακολουθία – και οδηγεί στο συμπέρασμα ότι οι πραγματικοί αριθμοί δεν είναι μετρήσιμοι. Εφαρμόζοντας την κατασκευή σε μία ακολουθία πραγματικών αλγεβρικών αριθμών, ο Κάντορ δημιούργησε τους υπερβατικούς αριθμούς. Ο Κάντορ έδειξε ότι οι κατασκευές του απέδειξαν πολλά – δηλαδή, παρέχουν μία νέα απόδειξη στο θεώρημα του Liouville: Kάθε διάστημα περιέχει άπειρους υπερβατικούς αριθμούς. To επόμενο άρθρο του Κάντορ περιλαμβάνει μία κατασκευή που αποδεικνύει ότι το σύνολο των υπερβατικών αριθμών έχει την ίδια "δύναμη" (κοίτα δίπλα) όπως το σύνολο των πραγματικών αριθμών.
| |||