Τυχαία μεταβλητή: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
μΧωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
Προσθήκη του κλασικού ορισμού |
||
Γραμμή 9:
Οι δυνατές τιμές μιας τυχαίας μεταβλητής μπορεί να αντιπροσωπεύουν τα πιθανά αποτελέσματα ενός πειράματος που πρόκειται να πραγματοποιηθεί ή που έχει πραγματοποιηθεί αλλά το αποτέλεσμά του είναι αβέβαιο (για παράδειγμα λόγω έλλειψης πληροφορίας ή μη ακριβούς μέτρησης).
Μια τυχαία μεταβλητή μπορεί να είναι '''διακριτή''', δηλαδή να έχει πεπερασμένο ή [[Πληθάριθμος|αριθμήσιμο]] πλήθος δυνατών τιμών, ή '''συνεχής''', δηλαδή να μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή σε ένα διάστημα αριθμών (ή ένωση διαστημάτων). Για διακριτές τυχαίες μεταβλητές, η [[συνάρτηση μάζας πιθανότητας]] δίνει την πιθανότητα κάθε δυνατής τιμής. Για συνεχείς μεταβλητές, όπου δεν έχει νόημα να μιλάμε για πιθανότητα μιας μεμονωμένης τιμής, η [[συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας]] ή η [[αθροιστική συνάρτηση κατανομής]] μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να υπολογιστεί η πιθανότητα η τιμή να βρίσκεται σε κάποιο διάστημα. Μια τυχαία μεταβλητή μπορεί επίσης να είναι ένας συνδυασμός μιας διακριτής και μιας συνεχούς
Ο αυστηρός ορισμός των τυχαίων μεταβλητών γίνεται με όρους της [[Θεωρία μέτρου|θεωρίας μέτρου]] και επιτρέπει την ύπαρξη τυχαίων μεταβλητών που δεν έχουν στοιχεία ούτε συνεχούς ούτε διακριτής μεταβλητής.
=== Κλασικός ορισμός ===
Μια τυχαία μεταβλητή είναι μια πραγματική συνάρτηση που ορίζεται σε ένα [[Δειγματικός χώρος|δειγματικό χώρο]] Ω, δηλαδή μια συνάρτηση της μορφής $X:Ω\to R$ ή $X:Ω\to Α$, όπου Α είναι ένα υποσύνολο των πραγματικών αριθμών. Εκφράζει συνήθως κάποια μέτρηση που γίνεται στο τυχαίο αποτέλεσμα. Για παράδειγμα αν ο δειγματικός χώρος είναι ένα σύνολο ατόμων, η τυχαία μεταβλητή μπορεί να εκφράζει το ύψος του τυχαία επιλεγμένου ατόμου.
Αν το πεδίο τιμών Α της τυχαίας μεταβλητής είναι ένα [[διακριτό σύνολο|διακριτό]] σύνολο, για παράδειγμα ένα πεπερασμένο σύνολο ή οι ακέραιοι αριθμοί, τότε η τυχαία μεταβλητή ονομάζεται διακριτή. Αν το πεδίο τιμών είναι ένα ή περισσότερα διαστήματα πραγματικών αριθμών, τότε η τυχαία μεταβλητή ονομάζεται συνεχής.
=== Μετροθεωρητικός ορισμός ===
Έστω ενας [[χώρος πιθανότητας]] <math>(\Omega,\mathcal{F},P)</math> και ένας [[μετρήσιμος χώρος]] <math>(S,\mathcal{S})</math> (αποτελείται από ένα σύνολο και μία σ-άλγεβρα). Ορίζουμε ως τυχαία μεταβλητή <math>X:\Omega \to S,</math> μια <math>(\mathcal{F},\mathcal{S})</math> -
Όταν <math>(S,\mathcal{S})=(\R^n,\mathcal{B}^n)</math>, τότε η <math>X\,</math> είναι μία πραγματική τυχαία μεταβλητή.
|