Διανυσματικός χώρος: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Όταν μια βάση του V είναι επιλεγμένη, οι γραμμικές απεικονίσεις ''f'':''V''→ ''W'' είναι εντελώς καθοριστικές προδιαγράφοντας τις εικόνες των διανυσμάτων της βάσης, γιατί κάθε στοιχείο του V εκφράζεται μοναδικά ως ένας γραμμικός συνδυασμός του. Αν dim''V''=dim''W'', μια [[1-1 |1-1 αντιστοιχία]] ανάμεσα σε σταθερές βάσεις των ''V'' και ''W'' δίνει αύξηση σε μια γραμμική απεικόνιση που απεικονίζει κάθε στοιχείο βάσης του ''V'' στο αντίστοιχο στοιχείο βάσης του ''W''. Είναι ένας ισομορφισμός από τον ίδιο του τον ορισμό. Συνεπώς, δύο διανυσματικοί χώροι είναι ισομορφικοί αν οι διαστάσεις τους συμφωνούν, και αντίστροφα. Με άλλα λόγια, κάθε διανυσματικός χώρος είναι εντελώς "ταξινομημένος" (μέχρι και ισομορφισμό) από τη διάστασή του, ένα μόνο αριθμό. Ειδικότερα, κάθε n-διάστατος ''F''-διανυσματικός χώρος V είναι ισομορφικός στον Fⁿ. Υπάρχει, ωστόσο, όχι "κανονικός" ή προτιμότερα ισομορφισμός· στην πραγματικότητα ένας ισομορφισμός φ:''Fⁿ''→''V'' είναι ισοδύναμος με την επιλογή μιας βάσης του V, μέσω της φ. Η ελευθερία επιλογής μια βολικής βάσης είναι ιδιαίτερα χρήσιμη στο απειρο-διάστατο γενικό πλαίσιο παρακάτω.