Διανυσματικός χώρος: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
|||
Γραμμή 1:
[[File:Vector addition ans scaling.png|200px|thumb|right|Πρόσθεση και πολλαπλασιασμός
Ο '''διανυσματικός χώρος''' είναι μια [[μαθηματική δομή]] η οποία αποτελείται από μια συλλογή [[Στοιχεία|στοιχείων]] που ονομάζονται '''διανύσματα'''. Τα διανύσματα μπορούν να [[Ευκλείδειο διάνυσμα#Πρόσθεση και Αφαίρεση διανυσμάτων|προστίθενται]] και να [[Ευκλείδειο διάνυσμα#Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα|πολλαπλασιάζονται]] (κλιμακωτά) με αριθμούς, οι οποίοι στο κείμενο θα ονομάζονται ως [[Μονόμετρο μέγεθος|βαθμωτά]]. Τα βαθμωτά είναι συνήθως [[Πραγματικός αριθμός|πραγματικοί αριθμοί]], αλλά υπάρχουν και διανυσματικοί χώροι με βαθμωτό πολλαπλασιασμό [[Μιγαδικός αριθμός|μιγαδικών αριθμών]], [[Ρητός αριθμός|ρητών αριθμών]] ή γενικά οποιουδήποτε [[Σώμα (άλγεβρα)|σώματος]]. Οι πράξεις της πρόσθεσης και του βαθμωτού πολλαπλασιασμού πρέπει να πληρούν κάποιες προϋποθέσεις, οι οποίες καλούνται [[Αξίωμα|αξιώματα]], παρατίθενται [[#Ορισμός|παρακάτω]]. Ένα παράδειγμα διανυσματικού χώρου είναι αυτός των [[Ευκλείδειο διάνυσμα|ευκλείδειων διανυσμάτων]], τα οποία μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να αναπαραστήσουν [[Φυσική|φυσικές]] ποσότητες όπως είναι οι [[Δύναμη|δυνάμεις]]• οποιαδήποτε δυο διανύσματα δυνάμεων (ίδιου τύπου) μπορούν να προστεθούν για να παράγουν ένα τρίτο και ο πολλαπλασιασμός ενός διανύσματος δύναμης με έναν πραγματικό πολλαπλασιαστή, είναι ένα νέο διάνυσμα δύναμης. Από [[Γεωμετρία|γεωμετρικής]] άποψης, τα διανύσματα που εκπροσωπούν μετατοπίσεις στο επίπεδο ή στον [[Τρισδιάστατος χώρος|τρισδιάστατο χώρο]] αποτελούν επίσης διανυσματικούς χώρους.
Γραμμή 131:
==Βάση και διάσταση==
[[Αρχείο:Vector_components_and_base_change.svg|200px|thumb|right|Ένα διάνυσμα v στον R<sup>2</sup> (μπλε) εκφράζεται σε διαφορετικές βάσεις: χρησιμοποιώντας την [[κανονική βάση]] του R<sup>2</sup>v = xe<sub>1</sub> + ye<sub>2</sub> (μαύρο), και χρησιμοποιώντας μία διαφορετική, όχι [[Ορθογωνιότητα|ορθογώνια]] βάση: v = f<sub>1</sub> + f<sub>2</sub> (κόκκινο)]]Οι βάσεις επιτρέπουν την εισαγωγή [[Διατεταγμένο διάνυσμα|συντεταγμένων]] ως μέσο αναπαράστασης διανυσμάτων. Μια βάση είναι μια (πεπερασμένη ή μη πεπερασμένη) ομάδα Β={b<sub>i</sub>} διανυσμάτων b<sub>i</sub>, για ευκολία συχνά έχει ως δείκτες ένα [[σύνολο δεικτών]] I , που συνδέει όλο το χώρο και είναι [[Γραμμική ανεξαρτησία|γραμμικά ανεξάρτητη]]. «Σύνδεση όλου του χώρου» σημαίνει ότι κάθε διάνυσμα v μπορεί να εκφραστεί ως ένα πεπερασμένο άθροισμα (ονομάζεται [[γραμμικός συνδυασμός]]) των στοιχείων της βάσης:
V = a<sub>1</sub>b<sub>i1</sub> + a<sub>2</sub>b<sub>i2</sub> +…+a <sub>n</sub>b<sub>in</sub>,
| |||