Σειρές Φουριέ: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
Δημιουργία των παραγράφων σύγκλισης και απόκλισης |
||
Γραμμή 347:
</blockquote>
===Σύγκλιση===
{{κύριο θέμα|σύγκλιση των σειρών Fourier}}
{{δείτε επίσης|φαινόμενο Gibbs}}
Λόγω της συμαντικότηταας της μεθόδου ελαχίστων τετραγώνων, και λόγω της πληρότητας των θεμέλιων της σειράς Fourier, έχουμε αποκτήσει ένα στοιχειώδες αποτέλεσμα σύγκλισης.
'''Θεώρημα.''' Αν ''f'' ανήκει στο ''L''<sup>2</sup>([−π, π]), τότε f<sub>∞</sub> συγκλίνει η ''f'' στο ''L''<sup>2</sup>([−π, π]), το οποίο σημαίνει ότι,  <math>\|f_N - f\|_2</math> συγκλίνει στο 0 όταν ''N'' → ∞.
Έχουμε, ήδη, αναφέρει ότι, αν ''f'' διαφορίσιμη συνεχής συνάρτηση, τότε <math>(i\cdot n) \hat{f}(n)</math> είναι ο ''n''οστός συντελεστής της σειράς Fourier της παραγώγου ''f''′. Επομένως, ουσιαστικά από την [[ανισότητα Cauchy–Schwarz]], όπου f<sub>∞</sub> είναι απόλυτα αθροίσιμη. Το άθροισμα αυτής της σειράς είναι μία συνεχής συνάρτηση, ίση με ''f'' , δεδομένου ότι η σειρά Fourier συγκλίνει κατά μέση τιμή στην'' f'':
'''Θεώρημα.''' Αν <math>f \στο C^1(\mathbb{T})</math>, τότε f<sub>∞</sub> συγκλίνει στην ''f'' [[ομοιόμορφη σύγκλιση|ομοιόμορφα]] (και επίσης, [[σημειακή σύγκλιση | σημειακά]].)
Το συμπέρασμα αυτό μπορεί να αποδειχτεί εύκολα, αν ''f'' επιπλέιο θεωρείται ότι είναι ''C''<sup>2</sup>, μιας και σε αυτήν την περίπτωση <math>n^2\hat{f}(n)</math> τείνει στο μηδέν καθώς ''n'' → ∞. Γενικεύοντας, οι σειρές Fourier είναι απόλυτα αθρόισιμες, έτσι συγκλίνει ομοιόμορφα στην ''f'', με την προϋπόθεση ότι η ''f'' ικανοποιεί τη [[συνθήκη Hölder]] προκειμένου α > ½. Στην περίπτωση της απόλυτης άθροισης, η ανισότητα <math>\sup_x |f(x) - f_N(x)| \le \sum_{|n| > N} |\hat{f}(n)|</math>  αποδεικνύει την ομοιόμορφη σύγκλιση.
Πολλά άλλα αποτελέσματα έχουν προκύψει για τη [[σύγκλιση σειράς Fourier|σύγκλιση των σειρών Fourier]] , κυμαίνονται από το απλό αποτέλεσμα ότι η σειρά συγκλίνει στο ''x'' αν η ''f'' είναι διαφορίσιμη στο ''x'', τα αποτελέσματα του [[Lennart Carleson]] είναι πολύ πιο εξελιγμένα από ότι η σειρά Fourier μιας ''L''<sup>2</sup> συνάρτησης πραγματικής σύγκλισης [[σχεδόν παντού]].
Αυτά τα θεωρήματα, και ανεπίσημες παραλλαγές τους που δεν διευκρινίζουν τις προϋποθέσεις σύγκλισης, αναφέρονται αρκετές φορές ως "θεώρημα του Fourier" ή "το θεώρημα Fourier".<ref>{{cite book
| title = Circuits, signals, and systems
| author = William McC. Siebert
| publisher = MIT Press
| year = 1985
| isbn = 978-0-262-19229-3
| page = 402
| url = http://books.google.com/?id=zBTUiIrb2WIC&pg=PA402&dq=%22fourier%27s+theorem%22
}}</ref><ref>{{cite book
| title = Advances in Electronics and Electron Physics
| author = L. Marton and Claire Marton
| publisher = Academic Press
| year = 1990
| isbn = 978-0-12-014650-5
| page = 369
| url = http://books.google.com/?id=27c1WOjCBX4C&pg=PA369&dq=%22fourier+theorem%22
}}</ref><ref>{{cite book
| title = Solid-state spectroscopy
| author = Hans Kuzmany
| publisher = Springer
| year = 1998
| isbn = 978-3-540-63913-8
| page = 14
| url = http://books.google.com/?id=-laOoZitZS8C&pg=PA14&dq=%22fourier+theorem%22
}}</ref><ref>{{cite book
| title = Brain and perception
| author = Karl H. Pribram, Kunio Yasue, and Mari Jibu
| publisher = Lawrence Erlbaum Associates
| year = 1991
| isbn = 978-0-89859-995-4
| page = 26
| url = http://books.google.com/?id=nsD4L2zsK4kC&pg=PA26&dq=%22fourier+theorem%22
}}</ref>
=== Απόκλιση ===
Μιας και οι σειρές Fourier έχουν τόσο καλές ιδιότητες σύγκλισης, πολλοί εκπλήσσονται συχνά όταν προκύπτουν αρνητικά αποτελέσματα. Για παράδειγμα, η σειρά Fourier μιας συνεχούς περιοδικής συνάρτησης '' Τ'' δεν χρειάζεται να συγκλίνει κατά σημείο. Η [[αρχή ομοιόμορφου φράγματος]] αποδίδει μία απλή μη εποικοδομητική απόδειξη αυτού του γεγονότος.
Το 1922, ο [[Andrey Kolmogorov]] δημοσίευσε ένα άρθρο με τίτλο "[http://translate.google.com/#fr/en/Une%20s%C3%A9rie%20de%20Fourier-Lebesgue%20divergente%20presque%20partout Une série de Fourier-Lebesgue divergente presque partout]" στο οποίο έδωσε ένα παράδειγμα μιας ολοκληρώσιμης-Lebesgue συνάρτησης, της οποίας η σειρά Fourier αποκλίνει σχεδόν παντού. Αργότερα, επίσης, κατασκεύασε μία ολοκληρώσιμη συνάρτηση όπου η σειρά Fourier της αποκλίνει παντού {{harv|Katznelson|1976}}.
== Δείτε επίσης ==
| |||