Σειρές Φουριέ: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

::<math>[\widehat{f*_{2\pi}g}](n) = 2\pi\cdot \hat{f}(n)\cdot\hat{g}(n),</math><ref group="nb"> Ο παράγοντας της κλίμακας είναι πάντα ίσος με την περίοδο, 2π σε αυτήν την περίπτωση.<!-- Μπορείς εύκολα να επαληθεύσεις ότι ο παράγοντας είναι απαραίτητος εδώ, επιλέγοντας τις f και g να είναι σταθερές 1. --></ref>

 

::<math>\begin{align}

\left[f*_{2\pi}g\right](x) \ &\stackrel{\mathrm{def}}{=} \int_{-\pi}^{\pi} f(u)\cdot g[\text{pv}(x-u)] du, &&

\big(\text{and }\underbrace{\text{pv}(x) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \text{Arg}\left(e^{ix}\right)

&= \int_{-\pi}^{\pi} f(u)\cdot g(x-u)\, du, &&\scriptstyle \text{when g(x) is 2}\pi\text{-periodic.}\\

&= \int_{2\pi} f(u)\cdot g(x-u)\, du, &&\scriptstyle \text{when both functions are 2}\pi\text{-periodic, and the integral is over any 2}\pi\text{ interval.}