Κανονική κατανομή: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

 

Η '''κανονική κατανομή''' (γνωστή και ως ''[[Καρλ Φρίντριχ Γκάους|Γκαουσιανή]] κατανομή'') αναφέρεται σε συνεχείς μεταβλητές αποτελώντας μία συνεχή [[συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας]]. Χρησιμοποιείται ως μία πρώτη προσέγγιση για να περιγραφούν τυχαίες μεταβλητές πραγματικών τιμών, οι οποίες τείνουν να συγκεντρώνονται γύρω από μια [[μέση τιμή]]. Η κανονική κατανομή αποτελεί την πιο σημαντική κατανομή της στατιστικής μεθοδολογίας για τους εξής βασικούς λόγους:<ref>Χαλικιάς Ι. 2003, σ.118</ref><br>

== Ιδιότητες ==

 

 

Η οικογένεια των κανονικών κατανομών είναι κλειστή ως προς τους [[Γραμμικός μετασχηματισμός|γραμμικούς μετασχηματισμούς]]. Αν <math> X \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2) </math> και <math>a, b \in \R, a>0</math>, η τυχαία μεταβλητή <math>aX + b</math> ακολουθεί επίσης την κανονική κατανομή με

Για τη συνάρτηση κατανομής της Χ ισχύει <math> F(x) = \Phi\Big(\frac{x-\mu}{\sigma}\Big) </math> και για τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας <math> f(x) = \tfrac{1}{\sigma}\, \phi\big(\tfrac{x-\mu}{\sigma}\big) </math>.

 

 

Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας είναι συμμετρική ως προς τη μέση τιμή. Συγκεκριμένα ισχύει <math>\phi(-z)=\phi(z)</math> και

:<math>\Phi(-z)=P[Z\le-z]=1-P[Z\ge -z]=1-P[Z\le z]=1-\Phi(z)</math>

 

 

Σε μια δειγματοληψία από κανονική κατανομή το 68,3% των τιμών απέχει το πολύ κατά σ από τη μέση τιμή, βρίσκεται δηλαδή στο διάστημα <math> [\mu-\sigma,\mu+\sigma] </math>.

Η προσέγγιση ασυνεχών κατανομών με μεγάλη ακρίβεια απ' την κανονική κατανομή, παρά το γεγονός ότι σαν συνεχής κατανομή περιγράφει μόνο συνεχείς μεταβλητές, αποτελεί βασικό της πλεονέκτημα. Η προσέγγιση αυτή ισχύει για εκείνες τις περιπτώσεις που και οι ασυνεχείς κατανομές τείνουν να πάρουν το σχήμα της "κωδωνοειδούς" καμπύλης.

 

 

Η [[διωνυμική κατανομή]] τείνει προς την κανονική για μέγεθος δείγματος (n) μεγαλύτερο από 20. Για μικρότερα δείγματα η πιθανότητα p πρέπει να είναι κοντά στο 0,5.<br>

:<math>\sigma = {[np(1-p)]}^{\frac{1}{2}}\,</math>

 

 

Η [[Κατανομή Πουασσόν|κατανομή Poisson]] τείνει προς την κανονική όσο αυξάνει ο μέσος λ.<br>