Μιγαδικός αριθμός: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Το σύνολο των μιγαδικών περιέχει επιπλέον όλους τους πραγματικούς αριθμούς, καθώς κάθε πραγματικός αριθμός μπορεί να γραφτεί ως ένας μιγαδικός με μηδενικό φανταστικό μέρος<math>:\ ''α'' = ''α'' a+ 0''i''0i</math>.

Αν το φανταστικό μέρος ενός μιγαδικού είναι ίσο με το [[μηδέν]], τότε αυτός ο μιγαδικός ταυτίζεται με τον πραγματικό αριθμό ''α''<math>a</math>.

Το πραγματικό μέρος ενός μιγαδικού ''<math>z''= ''a'' + ''bi''ib</math> συμβολίζεται με '''<math>Re(''z'')'''</math> ενώ το φανταστικό μέρος με '''<math>Im(''z'')'''</math>, δηλαδή ισχύει:

* ''<math>Re(''z'')''=''a''</math>

* ''<math>Im(''z'')''=''b''</math>

Δύο μιγαδικοί αριθμοί, z<sub>1</submath>,z_1=x₁x_1+''i''y₁iy_1,\ και z₂z_2=x₂x_2+''i''y<sub>2iy_2</submath>, είναι ίσοι μεταξύ τους [[αν και μόνο αν]] τα πραγματικά τους μέρη και τα φανταστικά τους μέρη είναι μεταξύ τους ίσα. Δηλαδή, αν x<sub>1</submath>x_1=x₂x_2,\ και y₁y_1=y<sub>2y_2</submath>.

Πράξεις μεταξύ μιγαδικών αριθμών, γίνονται με βάση τους γνωστούς κανόνες αντιμετάθεσης, προσεταιρισμού και επιμερισμού, της [[άλγεβραΆλγεβρα]]ς:

* <math>(''a'' + ''bi''ib) + (''c'' + ''di''id) = (''a''+''c'') + i(''b''+''d'')''i''</math>

* <math>(''a'' + ''bi''ib) − -(''c'' + ''di''id) = (''a''−''-c'') + i(''b''−''-d'')''i''</math>

* <math>(''a'' + ''bi''ib)(''c'' + ''di''id) = ''ac'' + ''bci'' ibc+ ''adi'' iad+ ''bd i'' ² ^2bd= (''ac''−''-bd'') + i(''bc''+''ad'')''i''</math>

Πιο αυστηρά, οι μιγαδικοί αριθμοί ορίζονται ως το [[Σώμασώμα (άλγεβραΆλγεβρα)|σώμα]] <math>\mathbb{C}=\left \{(a,b),\oplus,\otimes \right\}</math> με <math>(a,b) \in \mathbb{R}^2</math> και

<math>\mathbf{rR}</math>={\lbrace (a,0):\vert a <math> \in \mathbb{R}\rbrace</math> }

είναι [[υπόσωμα]] του <math>\mathbb{C}</math> και είναι ισόμορφο με το <math>\mathbb{R}</math>. Με βάση αυτό, πολλές φορές συμβολίζουμε το <math>(a,0)</math> με <math>a</math>, έτσι π.χ. συμβολίζουμε το <math>(3,0) με =3,\ το \left(\tfrac{5/}{11},0\right) με =\tfrac{5}{11}</11math> κτλ.

Το αυστηρά ορισμένο αυτό σώμα έχει όλες τις ιδιότητες που προαναφέρθηκαν για τους μιγαδικούς και αποφεύγει την '"αντιδιαισθητική'" αναφορά στη ρίζα τουστο <math>\sqrt{-1}</math>. Για το σώμα αυτό ισχύει:

όπου όμως το <math>-1</math> δεν είναι ο πραγματικός <math>-1</math> αλλά ο εναλλακτικός συμβολισμός του μιγαδικού <math>(-1,0)</math>, κι έτσι δεν δημιουργείται πρόβλημα. Οι μιγαδικοί δηλαδή δεν είναι μια αυθαίρετη επίκληση στην ύπαρξη ριζών αρνητικών πραγματικών, αλλά ένα εντελώς διαφορετικό σώμα του οποίου τουλάχιστον ένα υπόσωμα είναι ισόμορφο με τους πραγματικούς.

[[Αρχείο:Complex number illustration.svg|thumb|right|Ένας μιγαδικός <math>z=a+b''i''ib</math> παριστάνεται και με το [[διάνυσμα]] με αρχή το κέντρο των αξόνων και πέρας το σημείο <math>(a,b)</math>. ]]

Κάθε μιγαδικός αριθμός <math>z=a+b''i''ib</math> μπορεί να αντιστοιχιστεί σε ένα σημείο Μ<math>M(a,b)</math> ενός δισδιάστατου [[Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων|καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων]]. Κάθε τέτοιο σημείο Μ<math>M</math> λέγεται ''"εικόνα''" του αντίστοιχου μιγαδικού αριθμού <math>z</math> και συμβολίζεται με <math>M(z)</math> ή <math>M(a,b)</math>. Σε αυτή την περίπτωση, το καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων λέγεται ''"μιγαδικό επίπεδο''" (ή ''"διάγραμμα Argand''").

Λόγω της παραπάνω αντιστοίχισης μιγαδικού με σημείο, κάθε μιγαδικός αριθμός <math>z</math> μπορεί να αναπαρασταθεί στο μιγαδικό επίπεδο με το [[διάνυσμα]] <math> \overrightarrow{OM}</math>, που έχει αρχή το κέντρο Ο<math>O</math> των αξόνων και τέλος το σημείο Μ<math>M(a,b)</math>.

Το ''[[μέτρο]]'' του μιγαδικού αριθμού ορίζεται ως το μέτρο του διανύσματος <math> \overrightarrow{OM}</math> ή, ισοδύναμα, ως η [[Απόσταση (γεωμετρία)|απόσταση]] του Μ<math>M</math> από το κέντρο Ο<math>O</math> του μιγαδικού επιπέδου:

:<math> |z|=\sqrt{x^2+y^2}\geq 0</math>

Ο ''συζυγής'' ενός μιγαδικού αριθμού ''<math>z'' = ''a'' + ''ib''</math> ορίζεται ως ''<math>a'' - ''ib''</math>, και συμβολίζεται <math>\bar{z}</math> ή <math>z^*\,</math>. Γεωμετρικά, ο <math>\bar{z}</math> αποτελεί τον κατοπτρισμό του ''<math>z''</math> ως προς τον άξονα των πραγματικών (βλ. σχήμα). Για ένα μιγαδικό αριθμό ''<math>z''</math>, τον συζυγή και το μέτρο του ισχύουν οι ακόλουθες σχέσεις:

* <math>\overline{\left(\frac{z/}{w}\right)} = \frac{\bar{z}/}{\bar{w}}</math>

* <math>\bar{z}=z</math> &nbsp; αν και μόνο αν ο ''<math>Im(z'' είναι πραγματικός)=0</math>

* <math>\bar{z}=-z</math> &nbsp; αν και μόνο αν ο ''<math>Re(z'' είναι)=0</math> φανταστικός

* <math>\baroverline{\left(\bar{z}\right)}=z</math>

* <math>z^\frac{-1} {z}= \frac{\bar{z}}{|z|^{-2}},\ z\neq 0</math> &nbsp; για ''z'' μη μηδενικό.