Μιγαδικός αριθμός: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Στα [[μαθηματικά]], οι '''μιγαδικοί αριθμοί''' είναι μία επέκταση του συνόλου των [[πραγματικός αριθμός|πραγματικών αριθμών]] με την προσθήκη του στοιχείου ''<math>i''</math>, που λέγεται [[Φανταστικός αριθμός|φανταστική μονάδα]], και έχει την ιδιότητα:

:<math>i^2=-1.\,</math>

Κάθε μιγαδικός αριθμός μπορεί να γραφτεί με τη μορφή ''α'' <math>a+ ''βi''ib</math>, όπου τα ''α''<math>a</math> και ''β''<math>b</math> είναι [[πραγματικός αριθμός|πραγματικοί αριθμοί]] και λέγονται ''πραγματικό μέρος'' και ''φανταστικό μέρος'' του μιγαδικού αριθμού, αντίστοιχα.

Για παράδειγμα, ο <math>3 + 2''i''2i</math> είναι ένας μιγαδικός, με ''πραγματικό μέρος'' <math>3</math> και ''φανταστικό μέρος'' <math>2</math>.

Οι μιγαδικοί αριθμοί επινοήθηκαν από τον Ιταλό [[μαθηματικός|μαθηματικό]] [[Τζερόλαμο Καρντάνο]], ο οποίος τους χαρακτήριζε ως ''φανταστικούς'', στην προσπάθειά του να βρει αναλυτικές λύσεις σε κυβικές εξισώσεις. Η διαδικασία επίλυσης τέτοιων εξισώσεων απαιτεί ενδιάμεσους υπολογισμούς, οι οποίοι μπορεί να περιλαμβάνουν τετραγωνικές ρίζες αρνητικών αριθμών, ακόμα κι όταν η [[Ρίζα (μαθηματικά)|ρίζα]] είναι πραγματικός αριθμός. Το γεγονός αυτό οδήγησε τελικά στο [[Θεμελιώδες θεώρημα άλγεβρας|θεμελιώδεςΘεμελιώδες θεώρημαΘεώρημα της άλγεβραςΆλγεβρας]], που δείχνει ότι στουςστο μιγαδικούςσώμα αριθμούςτων είναιμιγαδικών πάντοτεαριθμών δυνατόνκάθε ναμη βρεθούν λύσεις σεμηδενικό [[πολυώνυμο|πολυωνυμικές]] εξισώσειςέχει τουλάχιστον μια ρίζα.

Εκτός από τις καρτεσιανές συντεταγμένες του, ένας μιγαδικός μπορεί να γραφεί και με ''πολική'' ή ''τριγωνομετρική μορφή''. Οι ''[[πολικές συντεταγμένες]]'' ενός μιγαδικού <math>z</math> είναι το ζευγάρι <math>(''r'',φ\phi)</math>, όπου ''<math>r'' = \left|''z''\right|</math>, είναι το [[μέτρο (διανύσματος)|μέτρο]] του μιγαδικού και φ = arg(''z'')<math>\phi</math>, το ''πρωτεύον όρισμα'' του ''<math>z''</math>.

''Όρισμα'' ενός μιγαδικού <math>z</math> είναι κάθε μία από τις γωνίες που σχηματίζει ο θετικός οριζόντιος ημιάξονας ''<math>\mathbb{R''}</math> με το αντίστοιχο διάνυσμα του <math>z</math>. ''Πρωτεύον όρισμα'' είναι η γωνία εκείνη που βρίσκεται στο διάστημα <math>\left(−''π''-\pi,\pi\right ''π'']\rbrack</math>, και συμβολίζεται με <math>Arg(z)</math>. Οπότε κάθε άλλο όρισμα του <math>z</math>, διαφέρει κατά 2k''π''<math>2\kappa\pi</math> από το <math>Arg(z)</math>, όπου <math>k\in\mathbb{Z}</math> ([[ακέραιος]]).

:<math> z = x + iy = r (\cos \phi + i\sin \phi ) \,</math>

:<math> r=|z|=\sqrt{x^2+y^2}\geq 0</math>

και το όρισμα <math>\phi</math> προσδιορίζεται με προσθετέο ''2kπ''<math>2\kappa\pi</math>, δηλαδή ορίσματα που διαφέρουν κατά ένα ακέραιο πολλαπλάσιο του ''2π''<math>2\pi</math> είναι ισοδύναμα.

Χρησιμοποιώντας τη [[ταυτότητα του Όιλερ]], η τριγωνομετρική μορφή μετατρέπεται σε:

:<math> z = r\,\mathrm{|z|e}^{i \varphiphi}\,</math>

= r_1 r_2r_1r_2 e^{i(\phi_1 + \phi_2)} \,</math>

= \frac{r_1}{r_2} e^{i (\phi_1 - \phi_2)}. \,</math>

Κατά αυτό τον τρόπο, η πρόσθεση μιγαδικών ταυτίζεται με πρόσθεση διανυσμάτων ενώ ο πολλαπλασιασμός μπορεί να θεωρηθεί ως μία ''στροφή'' (και ''ομοιοθεσία'', δηλ. επιμήκυνση ή σμίκρυνση) διανύσματος. Ο πολλαπλασιασμός με τον φανταστικό αριθμό ''<math>i''</math> αντιστοιχεί σε μία στροφή <math>90 μοιρών^\circ</math> (με φορά αντίθετη των δεικτών του ρολογιού). Η γεωμετρική επομένως σημασία της εξίσωσης ''i''<supmath>i^2=-1</supmath> = −1, που ορίζει τοντη φανταστικόφανταστική αριθμόμονάδα, είναι πως δύο διαδοχικές στροφές <math>90 μοιρών^\circ</math> ταυτίζονται με μία στροφή <math>180 μοιρών^\circ</math>.