Χρυσή τομή: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Πολλοί καλλιτέχνες και αρχιτέκτονες του 20ου αιώνα προσάρμοσαν τα έργα τους ώστε να προσεγγίζουν την χρυσή αναλογία—ιδίως στη μορφή του χρυσού ορθογωνίου παραλληλογράμμου, στο οποίο ο λόγος της μεγαλύτερης πλευράς προς την μικρότερη είναι η χρυσή τομή—πιστεύοντας ότι αυτή η αναλογία είναι αισθητικά ευχάριστη. Οι [[Μαθηματικός|Μαθηματικοί]] από την εποχή του Ευκλείδη μέχρι σήμερα έχουν μελετήσει τις ιδιότητες της χρυσής τομής, συμπεριλαμβανομένης της εμφάνισης της στις διαστάσεις ενός κανονικού [[πεντάγωνο|πενταγώνου]] και ενός χρυσού ορθογωνίου παραλληλογράμμου, το οποίο (όπως φαίνεται και στην διπλανή εικόνα) μπορεί να χωριστεί σε ένα [[τετράγωνο]] και ένα παρόμοιο παραλληλόγραμμο με τον ίδιο λόγο πλευρών όπως το αρχικό. Η χρυσή τομή έχει χρησιμοποιηθεί επίσης για την ανάλυση των αναλογιών φυσικών αντικειμένων καθώς και τεχνητών συστημάτων όπως οι οικονομικές αγορές.

:<math>\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = 1.61803\,39887\dots</math>

[[Αρχείο:Golden Rectangle Construction2.png|left|120px|thumb|]]

Η χρυσή τομή συνεπαίρνει Δυτικούς διανοούμενους ποικίλων ενδιαφερόντων για τουλάχιστον 2.400 χρόνια.

*Ο [[Πλάτων]] (427–347 π.Χ.), στον ''[[Τίμαιος (διάλογος)|Τίμαιο]]'', περιγράφει τα πέντε [[Πλατωνικό στερεό|Πλατωνικά στερεά]]: το [[Τετράεδρο|τετράεδρο]], τον [[Κύβος|κύβο]], το [[Οκτάεδρο|οκτάεδρο]], το [[Δωδεκάεδρο|δωδεκάεδρο]], και το [[Εικοσάεδρο|εικοσάεδρο]]), κάποια από τα οποία σχετίζονται με την χρυσή τομή.<ref>{{cite web

Το ''De Divina proportione'', ένα τρίτομο έργο του [[Luca Pacioli]], δημοσιεύθηκε το 1509.Ο Pacioli, ένας [[Φραγκισκανός]] [[μοναχός]], ήταν κυρίως γνωστός ως μαθηματικός, αλλά είχε επίσης εκπαιδευτεί και έδειχνε έντονο ενδιαφέρον για την τέχνη.Στο ''De Divina proportione'' διερευνήθηκαν τα μαθηματικά της χρυσής αναλογίας.Παρ'ότι λέγεται συχνά ότι ο Pacioli υποστήριζε την εφαρμογή της χρυσή αναλογίας για να δώσει ευχάριστες, αρμονικές αναλογίες,ο Livio επισημαίνει ότι η ερμηνεία έχει προήλθε από ένα λάθος το 1799, και ότι ο Pacioli υποστήριζε πραγματικά το [[Βιτρούβιος|Βιτρούβιο]] σύστημα των ρητών αναλογιών.<ref name="Livio, Mario 2002">^ a b c d e f g Livio, Mario (2002). The Golden Ratio: The Story of Phi, The World's Most Astonishing Number. New York: Broadway Books. ISBN 0-7679-0815-5.</ref> Ο Pacioli επίσης παρατήρησε θρησκευτική σημασία στην αναλογία, η οποία οδήγησε στον τίτλο του έργου του. Το ''De Divina proportione'' περιλαμβάνει απεικονίσεις των κανονικών στερεών από τον [[Λεονάρντο ντα Βίντσι|Leonardo da Vinci]], παλιό φίλο και συνεργάτη του Pacioli.

Η πρόσοψη του Παρθενώνα, καθώς και τα στοιχεία της πρόσοψης αυτού λέγεται από κάποιους ότι οριοθετήθηκαν από ορθογώνια με χρυσές αναλογίες.<ref>Van Mersbergen, Audrey M., "Rhetorical Prototypes in Architecture: Measuring the Acropolis with a Philosophical Polemic", ''Communication Quarterly'', Vol. 46 No. 2, 1998, pp 194-213.</ref> Άλλοι μελετητές αρνούνται ότι οι Έλληνες είχαν κάποια αισθητική συσχέτιση με τη χρυσή αναλογία. Για παράδειγμα,ο Midhat J. Gazale λέει, "...Ωστόσο, έπρεπε να φτάσουμε στον Ευκλείδη προκειμένου να μελετηθούν οι μαθηματικές ιδιότητες της χρυσής τομής. Στα Στοιχεία (308 π.Χ.), ο Έλληνας μαθηματικός απλώς θεωρούσε τον αριθμό αυτό ως έναν ενδιαφέροντα άρρητο αριθμό, σε σχέση με τις μεσαίες και ακραίες αναλογίες. Η εμφάνιση του σε κανονικά πεντάγωνα και δεκάγωνα ήταν δεόντως σεβαστή, καθώς επίσης και στο δωδεκάεδρο (ένα [[κανονικό πολύεδρο]] που έχει ως έδρες δώδεκα κανονικά πεντάγωνα ). Είναι πράγματι υποδειγματικό ότι ο μεγάλος Ευκλείδης, σε αντίθεση με τις γενιές των μυστικιστών που ακολούθησαν, αντιμετώπισε με νηφαλιότητα τον αριθμό αυτό για αυτό που είναι, χωρίς να προσκολλήσει σε αυτόν άλλες από τις πραγματικές του ιδιότητές." <ref>Midhat J. Gazalé , ''Gnomon'', Princeton University Press, 1999. ISBN 0-691-00514-1</ref> Και ο [[Κηθ Ντέβλιν]], λέει," Σίγουρα, ο συχνά επαναλαμβανόμενος ισχυρισμός ότι ο Παρθενώνας στην Αθήνα βασίζεται στη χρυσή αναλογία δεν υποστηρίζεται από τις πραγματικές μετρήσεις. Στην πραγματικότητα, ολόκληρη η ιστορία για τους Έλληνες και την χρυσή αναλογία φαίνεται να είναι αβάσιμη.Το μόνο πράγμα που γνωρίζουμε με βεβαιότητα είναι ότι ο Ευκλείδης, στο περίφημο βιβλίο του Στοιχεία , που γράφτηκε γύρω στο 300 π.Χ., έδειξε πώς υπολογίζετε η τιμή της χρυσής αναλογίας ". <ref>Keith J. Devlin ''The Math Instinct: Why You're A Mathematical Genius (Along With Lobsters, Birds, Cats, And Dogs)'', [http://books.google.com/books?id=eRD9gYk2r6oC&pg=PA108 p. 108]. New York: Thunder's Mouth Press, 2005, ISBN 1-56025-672-9</ref> Εγγύς πηγές της εποχής, όπως ο [[Βιτρούβιος]] συζητούν αποκλειστικά αναλογίες που μπορούν να εκφραστούν σε ακέραιους αριθμούς. Ο Π. Φουτάκης μελέτησε τις διαστάσεις 15 αρχαίων ναών, 18 μνημειακών τάφων, 8 σαρκοφάγων και 58 επιτύμβιων στηλών γιά το διάστημα από τον 5ο αιώνα π.Χ. μέχρι τον 2ο αιώνα μ.Χ. Οι αρχαίοι ναοί αποτελούσαν το κατεξοχήν μέρος επικοινωνίας μεταξύ ανθρώπων και θεών, ενώ οι τάφοι, σαρκοφάγοι και επιτύμβιες στήλες συνδέονταν με το πέρασμα των θνητών από την υλική στην αιώνια ζωή. Εάν η χρυσή τομή είχε οποιεσδήποτε θεικές, μυστικιστικές ή αισθητικές ιδιότητες, τότε οι περισσότερες από αυτές τις κατασκευές θα χαρακτηρίζονταν από τον κανόνα της χρυσής αναλογίας. Το αποτέλεσμα αυτής της πρωτότυπης έρευνας είναι ξεκάθαρο: η χρυσή τομή ήταν εντελώς απούσα από την ελληνική αρχιτεκτονική του κλασικού 5ου αιώνα π.Χ., και σχεδόν απούσα για τους επόμενους έξι αιώνες. Τέσσερα σπάνια, και για αυτό πολύτιμα, παραδείγματα εφαρμογής αναλογιών χρυσής τομής εντοπίσθηκαν σε ένα αρχαίο πύργο της Μεθώνης Μεσσηνίας, στο Μεγάλο Βωμό της Περγάμου (στο ομώνυμο μουσείο του Βερολίνου), σε μια επιτύμβια στήλη από την Έδεσσα και σε ένα μνημειακό τάφο στην Πέλλα. Είναι η πρώτη φορά που παρουσιάζεται απόδειξη για εφαρμογή χρυσής τομής σε αρχαία ελληνική κατασκευή, ωστόσο, σύμφωνα με το συγγραφέα, εφαρμογή περιθωριακή η οποία υποδηλώνει ότι οι αρχαίοι Έλληνες δεν έδωσαν ιδιαίτερη σημασία στη χρυσή τομή στο χώρο της αρχιτεκτονικής.<ref>Patrice Foutakis, Did the Greeks Build According to the Golden Ratio?, ''Cambridge Archaeological Journal'', vol. 24, n° 1, February 2014, σελ. 71-86.</ref>

Μία γεωμετρική ανάλυση προηγούμενης έρευνας το 2004 για το [[Μεγάλο Τζαμί της Καϊρουάν]] αποκαλύπτει μια συνεπή εφαρμογή της χρυσής αναλογίας σε όλο το σχεδιασμό, σύμφωνα με τον Boussora και τον Mazouz. <ref>Boussora, Kenza and Mazouz, Said, ''The Use of the Golden Section in the Great Mosque of Kairouan'', Nexus Network Journal, vol. 6 no. 1 (Spring 2004), [http://www.emis.de/journals/NNJ/BouMaz.html]</ref> Βρήκαν αναλογίες κοντά στη χρυσή στο συνολικό ποσοστό του σχεδίου καθώς και στο χώρο προσευχής και στο χώρο του δικαστηρίου . Οι συντάκτες σημειώνουν, ωστόσο, ότι οι περιοχές που βρέθηκαν να έχουν αναλογίες κοντά στην χρυσή δεν αποτελούν μέρος της αρχικής κατασκευής, και θεωρούν ότι αυτά τα στοιχεία προστέθηκαν σε μια ανακατασκευή.

Ο Ελβετός [[αρχιτέκτονας]] [[Λε Κορμπυζιέ]], γνωστός για τη συμβολή του στο [[Μοντερνισμός|σύγχρονο]] [[διεθνές αρχιτεκτονικό στυλ]], εστίασε τη φιλοσοφία του σχεδιασμού του σε συστήματα αρμονίας και αναλογίας. Η πίστη του Λε Κορμπυζιέ στη μαθηματική τάξη του σύμπαντος ήταν στενά συνδεδεμένη με τη χρυσή αναλογία και τη σειρά Φιμπονάτσι, τις οποίες περιέγραψε ως "ρυθμούς εμφανείς δια γυμνού οφθαλμού και σαφείς στις σχέσεις τους το ένα με το άλλο. Και αυτοί οι ρυθμοί βρίσκονται στη ρίζα των ανθρωπίνων δραστηριοτήτων. Αντηχούν στον άνθρωπο από οργανικό αναπόφευκτο, το ίδιο αναπόφευκτο που προκαλεί την παρατήρηση της Χρυσής Τομής από τα παιδιά, τους ηλικιωμένους, τους άγριους και τους μορφωμένους ". <ref>Le Corbusier, ''The Modulor'' p. 25, as cited in Padovan, Richard, ''Proportion: Science, Philosophy, Architecture'' (1999), p. 316, Taylor and Francis, ISBN 0-419-22780-6</ref>

Ο Λε Κορμπυζιέ χρησιμοποίησε ρητά τη χρυσή αναλογία στο [[Modulor]] σύστημα του για την κλίμακα της αρχιτεκτονικής αναλογίας. Είδε το σύστημα αυτό, ως συνέχεια της μακράς παράδοσης του [[Βιτρούβιος|Βιτρούβιου]],του "[[Άνθρωπος του Βιτρούβιου]]" του Leonardo da Vinci, του έργο του [[Leon Battista Alberti]], και των άλλων που χρησιμοποίησαν τις αναλογίες του ανθρώπινου σώματος για να βελτιώσουν την εμφάνιση και τη λειτουργία της [[αρχιτεκτονική|αρχιτεκτονικής]]ς. Εκτός από τη χρυσή αναλογία, ο Λε Κορμπυζιέ θεμελίωσε το σύστημα πάνω στις ανθρώπινες μετρήσεις και τους [[Ακολουθία Φιμπονάτσι|αριθμούς Φιμπονάτσι]] . Επίσης, πρότεινε την εφαρμογή της χρυσής αναλογίας σε ανθρώπινες αναλογίες: χώρισε το ύψος ενός ανθρώπινου μοντέλου στον ομφαλό με τα δύο τμήματα να βρίσκονται σε χρυσή αναλογία, κατόπιν υποδιαίρεσε αυτά τα δύο τμήματα σε χρυσή αναλογία στα γόνατα και το λαιμό και χρησιμοποίησε αυτές τις αναλογίες στο Modulor σύστημα του. Η Villa Stein στις Garches που σχεδίασε ο Λε Κορμπυζιέ το 1927 αποτέλεσε παράδειγμα της εφαρμογής του συστήματος του Modulor. Η ορθογώνια κάτοψη της βίλας, το υψόμετρο, και η εσωτερική δομή προσεγγίζονται από ορθογώνια με χρυσές αναλογίες.<ref>Le Corbusier, ''The Modulor'', p. 35, as cited in Padovan, Richard, ''Proportion: Science, Philosophy, Architecture'' (1999), p. 320. Taylor & Francis. ISBN 0-419-22780-6: "Both the paintings and the architectural designs make use of the golden section".</ref>

Σε ένα πρόσφατο βιβλίο, ο συγγραφέας Jason Elliot εικάζει ότι η χρυσή αναλογία χρησιμοποιήθηκε από τους σχεδιαστές του Naqsh-e Jahan Square και του παρακείμενου Lotfollah τζαμιού . <ref>

Οι εικονογραφήσεις του [[Λεονάρντο ντα Βίντσι]] στα πολύεδρα στην ''De divina proportione'' (''Στην θεϊκή αναλογία'') και οι απόψεις του ότι ορισμένες σωματικές αναλογίες εμφανίζουν την χρυσή αναλογία έχουν οδηγήσει ορισμένους επιστήμονες να εικάζουν ότι ενσωμάτωσε τη χρυσή αναλογία στα έργα του. <ref>''Leonardo da Vinci's Polyhedra'', by [[George W. Hart]][http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/leonardo.html]</ref> Ωστόσο, η άποψη ότι στην ''[[Μόνα Λίζα (Ντα Βίντσι)|Μόνα Λίζα]]'' , για παράδειγμα, χρησιμοποιεί χρυσή αναλογία, δεν υποστηρίζεται σε κανένα από τα κείμενα του. <ref name="Livio, Mario">{{cite web|url=http://plus.maths.org/issue22/features/golden/|author=Livio, Mario|accessdate=2008-03-21|title=The golden ratio and aesthetics}}</ref> Ομοίως, αν και ο ''[[Άνθρωπος του Βιτρούβιου]]'' συχνά <ref>"Part of the process of becoming a mathematics writer is, it appears, learning that you cannot refer to the golden ratio without following the first mention by a phrase that goes something like 'which the ancient Greeks and others believed to have divine and mystical properties.' Almost as compulsive is the urge to add a second factoid along the lines of 'Leonardo Da Vinci believed that the human form displays the golden ratio.' There is not a shred of evidence to back up either claim, and every reason to assume they are both false. Yet both claims, along with various others in a similar vein, live on." {{cite web|author=Keith Devlin|url=http://www.maa.org/devlin/devlin_05_07.html|title=The Myth That Will Not Go Away|accessdate=April 10, 2013|date=May 2007|archiveurl=http://web.archive.org/web/20070523075937/http://www.maa.org/devlin/devlin_05_07.html|archivedate=May 23, 2007}}</ref> φαίνεται να είναι συνδεδεμένος με τη χρυσή αναλογία, οι αναλογίες του σχήματος στην πραγματικότητα δεν ταιριάζουν με αυτήν την άποψη, και το κείμενο αναφέρει μόνο αναλογίες ακεραίων αριθμών. <ref>{{cite web|author=Donald E. Simanek|url=http://www.lhup.edu/~dsimanek/pseudo/fibonacc.htm|title=Fibonacci Flim-Flam|accessdate=April 9, 2013}}</ref>

Ο Ernő Lendvai αναλύει τα έργα του [[Μπέλα Μπάρτοκ]] σαν να είναι βασισμένα σε δύο αντιτιθέμενα συστήματα,της χρυσής αναλογίας και της ακουστικής κλίμακας <ref>Lendvai, Ernő (1971). ''Béla Bartók: An Analysis of His Music''. London: Kahn and Averill.</ref>, αν και άλλοι επιστήμονες μουσικής απορρίπτουν την ανάλυση αυτή. <ref>{{cite web|url=http://plus.maths.org/issue22/features/golden/|authorname="Livio, Mario|accessdate=2008-03-21|title=The golden ratio and aesthetics}}<"/ref> Στο ''Music for Strings,Percussion and Celesta'' του Bartok, η εξέλιξη του ξυλόφωνου συμβαίνει στα διαστήματα 1:2:3:5:8:5:3:2:1.<ref name=Smith>Smith, Peter F. ''[http://books.google.com/books?id=ZgftUKoMnpkC&pg=PA83&dq=bartok+intitle:The+intitle:Dynamics+intitle:of+intitle:Delight+intitle:Architecture+intitle:and+intitle:Aesthetics&as_brr=0&ei=WkkSR5L6OI--ogLpmoyzBg&sig=Ijw4YifrLhkcdQSMVAjSL5g4zVk The Dynamics of Delight: Architecture and Aesthetics]'' (New York: Routledge, 2003) pp 83, ISBN 0-415-30010-X</ref> Ο Γάλλος συνθέτης [[Ερίκ Σατιέ]] χρησιμοποίησε τη χρυσή αναλογία σε πολλά από τα κομμάτια του, συμπεριλαμβανομένου του ''Sonneries de la Rose + Croix''. Η χρυσή αναλογία είναι επίσης εμφανής στην οργάνωση των τμημάτων στη μουσική του [[Κλωντ Ντεμπυσσύ]] ''Reflets dans l'eau'' ''(Αντανακλάσεις στο νερό)'', από τις ''Εικόνες'' (1η σειρά, 1905), στις οποίες «η ακολουθία των πλήκτρων χαρακτηρίζεται από τα διαστήματα 34, 21, 13 και 8, και η κύρια κορύφωση εμφανίζεται στην θέση του φ ".<ref name=Smith />

Ο μουσικολόγος Roy Howat έχει παρατηρήσει ότι τα τυπικά όρια της ''La Mer'' αντιστοιχούν ακριβώς στη χρυσή τομή. <ref>{{Cite book| title = Debussy in Proportion: A Musical Analysis | author = Roy Howat | url = http://books.google.com/?id=4bwKykNp24wC&pg=PA169&dq=intitle:Debussy+intitle:in+intitle:Proportion+golden+la-mer | publisher = Cambridge University Press | year = 1983 | isbn = 0-521-31145-4 }}</ref> Ο Trezise βρίσκει τα εγγενή στοιχεία «αξιοσημείωτα», αλλά προειδοποιεί ότι κανένα γραπτό ή αναφερόμενο στοιχείο δεν δείχνει ότι ο Debussy αναζητούσε συνειδητά τέτοιες αναλογίες.<ref>{{Cite book| title = Debussy: La Mer | author = Simon Trezise | publisher = Cambridge University Press | year = 1994 | isbn = 0-521-44656-2 | page = 53 | url = http://books.google.com/?id=THD1nge_UzcC&pg=PA53&dq=inauthor:Trezise+golden+evidence }}</ref>

Η εταιρία Pearl Drums τοποθετεί τους αεραγωγούς των Masters Premium μοντέλων της με βάση τη χρυσή αναλογία. Η εταιρεία ισχυρίζεται ότι η ρύθμιση αυτή βελτιώνει την απόκριση των μπάσων και έχει υποβάλει αίτηση για δίπλωμα [[Ευρεσιτεχνία|ευρεσιτεχνίαςευρεσιτεχνία]]ς για αυτή την καινοτομία. <ref>

Ο Adolf Zeising, του οποίου τα κύρια ενδιαφέροντα ήταν τα μαθηματικά και η φιλοσοφία, παρατήρησε τη χρυσή αναλογία να είναι εκφρασμένη στη διάταξη των κλαδιών,ανάμεσα στους μίσχους των φυτών και τις φλέβες στα φύλλα. Επέκτεινε την έρευνα του στους σκελετούς των ζώων και στις διακλαδώσεις των φλεβών και των νεύρων τους, με τις αναλογίες των χημικών ενώσεων και τη γεωμετρία των κρυστάλλων, ακόμη και με τη χρήση της αναλογίας σε καλλιτεχνικές προσπάθειες. Σε αυτά τα φαινόμενα είδε τη χρυσή αναλογία να λειτουργεί σαν καθολικός νόμος. <ref>{{Cite book

Το 2010, το περιοδικό ''Science'' ανέφερε ότι η χρυσή αναλογία είναι παρούσα σε ατομική κλίμακα στο μαγνητικό συντονισμό των περιστροφών στους κρυστάλλους κοβαλτίου νιοβίου. <ref>{{cite web|url=http://www.eurekalert.org/pub_releases/2010-01/haog-grd010510.php |title=Golden ratio discovered in a quantum world |publisher=Eurekalert.org |date=2010-01-07 |accessdate=2011-10-31}}</ref>

Αυτό καταδεικνύει την μοναδική ιδιότητα της χρυσής τομής ανάμεσα στους θετικούς αριθμούς,

Το ορισμένο πολυώνυμο δευτέρου βαθμού και η συζυγής σχέση αυτού οδηγούν σε δεκαδικές τιμές, οι οποίες έχουν το κλασματικό τους μέρος ίδιο με το κλασματικό μέρος του φ:

Η χρυσή αναλογία επίσης εμφανίζεται στην [[Υπερβολική γεωμετρία|υπερβολική γεωμετρία]] ,ως η μέγιστη απόσταση ενός σημείου ενός ιδανικού τριγώνου με το κοντινότερο των άλλων δύο πλευρών: η απόσταση αυτή,το μήκος της πλευράς ενός [[Ισόπλευρο τρίγωνο|ισοπλεύρου τριγώνου ]] που σχηματίζεται από τα σημεία όπου εφάπτεται ένας κύκλος εγγεγραμμένος στο ιδανικό τρίγωνο,είναι 4&nbsp;ln&nbsp;φ.<ref>[http://www.cabri.net/abracadabri/GeoNonE/GeoHyper/KBModele/Biss3KB.html Horocycles exinscrits : une propriété hyperbolique remarquable], cabri.net, retrieved 2009-07-21.</ref>

με √5 ≈ 2.2360679774997896964 .Η [[Τετραγωνική ρίζα του 5|τετραγωνική ρίζα του 5]] μπορεί να υπολογιστεί με την Βαβυλώνια μέθοδο,ξεκινώντας με αρχική εκτίμηση όπως ''x''φ = 2 και συνεχίζοντας με την επαναληπτική σχέση

Το μεσαίο [[ορθογώνιο τρίγωνο]] αυτής της "χρυσής" πυραμίδας (βλέπε διάγραμμα), με πλευρές <math>1:\sqrt{\varphi}:\varphi</math> είναι ενδιαφέρον από μόνο του, αποδεικνύοντας με το [[Πυθαγόρειο θεώρημα]] τη σχέση <math>\sqrt{\varphi} = \sqrt{\varphi^2 - 1}</math> ή <math>\varphi = \sqrt{1 + \varphi}</math> . Αυτό το "[[Τρίγωνο του Κέπλερ]]" <ref>{{Cite book| title = The Best of Astraea: 17 Articles on Science, History and Philosophy | url = http://books.google.com/?id=LDTPvbXLxgQC&pg=PA93&dq=kepler-triangle | publisher = Astrea Web Radio | isbn = 1-4259-7040-0 | year = 2006 | author1 = Radio, Astraea Web }}</ref> είναι η μόνη αναλογία ορθογώνιου τριγώνου με μήκη πλευρών σε [[Γεωμετρική πρόοδος|γεωμετρική πρόοδο]], <ref name=herz>{{Cite book| title = The Shape of the Great Pyramid | author = Roger Herz-Fischler | publisher = Wilfrid Laurier University Press | year = 2000 | isbn = 0-88920-324-5 | url = http://books.google.com/?id=066T3YLuhA0C&pg=PA81&dq=kepler-triangle+geometric }}</ref>, όπως ακριβώς το 3-4-5 τρίγωνο είναι η μόνη αναλογία ορθογώνιου τριγώνου με μήκη πλευρών σε [[Αριθμητική πρόοδος|αριθμητική πρόοδο]]. Η γωνία με εφαπτομένη <math>\sqrt{\varphi}</math> αντιστοιχεί στη γωνία που σχηματίζεται από την πλευρά της πυραμίδας και το έδαφος, 51,827 ... μοίρες (51 ° 49 '38 ").<ref>Midhat Gazale, ''Gnomon: From Pharaohs to Fractals'', Princeton Univ. Press, 1999</ref>

Ένα σχεδόν παρόμοιο σχήμα πυραμίδας, αλλά με ρητές αναλογίες, περιγράφεται στο Rhind Mathematical Papyrus (την πηγή ενός μεγάλου μέρους της σύγχρονης γνώσης των αρχαίων αιγυπτιακών μαθηματικών),βασισμένο στο τρίγωνο 3:4:5. <ref name = "maor"/> Η κλίση της πυραμίδας που αντιστοιχεί στη γωνία με εφαπτομένη 4/3 είναι 53,13 μοίρες (53 μοίρες και 8 λεπτά). <ref name=Herkommer>{{cite web|url=http://www.petrospec-technologies.com/Herkommer/pyramid/pyramid.htm|title=The Great Pyramid, The Great Discovery, and The Great Coincidence|accessdate=2007-11-25}}</ref> Το απόστημα ή το ύψος της παράπλευρης έδρας είναι 5/3 ή 1.666 ... φορές την ημι-βάση.Το Rhind Papyrus έχει ακόμη ένα πρόβλημα με την πυραμίδα, πάλι με την κλίση ρητών αριθμών. Τα αιγυπτιακά μαθηματικά δεν περιλαμβάνουν την έννοια των άρρητων αριθμών, <ref>Lancelot Hogben, ''Mathematics for the Million'', London: Allen & Unwin, 1942, p. 63., as cited by Dick Teresi, ''Lost Discoveries: The Ancient Roots of Modern Science—from the Babylonians to the Maya'', New York: Simon & Schuster, 2003, p.56</ref> και η αντίστροφη κλίση ρητών αριθμών χρησιμοποιήθηκε στην κατασκευή των πυραμίδων. <ref name = "maor"/>

Στα μέσα του δέκατου ένατου αιώνα,ο Röber μελέτησε ποικίλες Αιγυπτιακές πυραμίδες συμπεριλαμβανομένων των Khafre, Menkaure και μερικών από της Γκίζας και Σαxάρας και ερμηνεύτηκε ότι είπε ότι το μισό της βάσης της πυραμίδας είναι η μέση της πλευράς ,διατυπώνοντας ότι οι άλλοι συγγραφείς αναγνώριζαν ως το [[τρίγωνο του Κέπλερ|τρίγωνο του Kepler]]. Πολλές άλλες μαθηματικές θεωρίες σε σχέση με το σχήμα των πυραμίδων έχουν επίσης διερευνηθεί. <ref name=herz/>

Μία Αιγυπτιακή πυραμίδα εξαιρετικά κοντά σε μια "χρυσή πυραμίδα" είναι η [[Πυραμίδες της Γκίζας|Μεγάλη Πυραμίδα της Γκίζας]] (επίσης γνωστή ως η Πυραμίδα του Χέοπα). Η κλίση της 51 ° 52 'είναι πολύ κοντά στην "χρυσή" κλίση της πυραμίδας των 51 ° 50' και στην βασισμένη στον αριθμό π κλίση της πυραμίδας των 51 ° 51 '. Άλλες πυραμίδες της Γκίζας (Chephren, 52 ° 20', και Mycerinus, 50 ° 47 '), <ref name="maor">[[Eli Maor]], ''Trigonometric Delights'', Princeton Univ. Press, 2000</ref> είναι επίσης αρκετά κοντά. Το αν η σχέση με τη χρυσή αναλογία σε αυτές τις πυραμίδες έχει σχεδιαστεί ή έχει προκύψει κατά λάθος παραμένει άγνωστο. <ref>{{cite book

Συμβάλλοντας έντονα στην αντιπαράθεση ο αρχιτεκτονικός συντάκτης της Μεγάλης Πυραμίδας,[[ Eric Temple Bell]], μαθηματικός και ιστορικός, ισχυρίστηκε το 1950 ότι τα Αιγυπτιακά μαθηματικά δεν θα είχαν την δυνατότητα να υπολογίσουν το ύψος της παράπλευρης έδρας της πυραμίδας, ή την αναλογία προς το ύψος, εκτός από την περίπτωση της 3:4:5 πυραμίδας,δεδομένου ότι το τρίγωνο 3:4:5 ήταν το μόνο ορθογώνιο τρίγωνο γνωστό στους Αιγυπτίους. Επιπλέον,υποστήριξε ότι οι αρχαίοι Αιγύπτιοι δεν γνώριζαν το Πυθαγόρειο θεώρημα και με κανέναν τρόπο δεν θα μπορούσαν να εξηγήσουν άρρητους αριθμούς, όπως ο π ή ο φ. <ref>Eric Temple Bell, ''The Development of Mathematics'', New York: Dover, 1940, p.40</ref>

Ο Michael Rice <ref>Rice, Michael, ''Egypt's Legacy: The Archetypes of Western Civilisation, 3000 to 30 B.C'' pp. 24 Routledge, 2003, ISBN 0-415-26876-1</ref> ισχυρίζεται ότι οι κύριες αρχές στην ιστορία της αιγυπτιακής αρχιτεκτονικής έχουν υποστηρίξει ότι οι Αιγύπτιοι ήταν εξοικειωμένοι με τη χρυσή αναλογία ,η οποία αποτελεί κομμάτι των μαθηματικών των πυραμίδων, όπως αναφέρει ο Giedon (1957). <ref>S. Giedon, 1957, The Beginnings of Architecture, The A.W. Mellon Lectures in the Fine Arts, 457, as cited in Rice, Michael, ''Egypt's Legacy: The Archetypes of Western Civilisation, 3000 to 30 B.C'' pp.24 Routledge, 2003</ref> Οι ιστορικοί των επιστημών ανέκαθεν διαφωνούσαν για το αν οι Αιγύπτιοι είχαν κάποια τέτοια γνώση ή όχι, αντιτάσσοντας ότι η εμφάνιση της χρυσής τομής στις πυραμίδες ήταν προιον τύχης. <ref>{{Cite journal

Το 1859, ο πυραμιδιολόγος John Taylor ισχυρίστηκε ότι, στη [[Πυραμίδες της Γκίζας|Μεγάλη Πυραμίδα της Γκίζας]], η χρυσή αναλογία εκπροσωπείται από την αναλογία του ύψους της παράπλευρης έδρας,σχηματίζοντας μια γωνία [[Θήτα|θ]] με το έδαφος, προς το μισό του μήκους της πλευράς της βάσης, που ισοδυναμεί με την [[Τριγωνομετρική συνάρτηση|τέμνουσα]] της γωνίας θ. <ref>Taylor, ''The Great Pyramid: Why Was It Built and Who Built It?'', 1859</ref> Τα παραπάνω δύο μήκη ήταν περίπου 186,4 και 115,2 μέτρα αντίστοιχα. Η αναλογία αυτών των μηκών είναι η χρυσή αναλογία, με ακρίβεια περισσοτέρων ψηφίων από αυτών στις αρχικές μετρήσεις. Ομοίως,ο Howard Vyse, σύμφωνα με το Matila Ghyka, <ref>Matila Ghyka ''The Geometry of Art and Life'', New York: Dover, 1977</ref> ανέφερε το ύψος της Μεγάλης πυραμίδας 148,2 m, και το μισό μήκος της πλευράς της βάσης της 116,4 m, αποδίδοντας 1,6189 για το λόγο του ύψους της παράπλευρης έδρας προς το μισό μήκος της πλευράς της βάσης, και πάλι με μεγαλύτερη ακρίβεια .

*Ο ιστορικός John Man αναφέρει ότι οι σελίδες της Βίβλου του Γουτεμβέργιου ήταν "βασισμένες στο σχήμα της χρυσή τομής". Ωστόσο, σύμφωνα με τις μετρήσεις του ίδιου, ο λόγος του ύψους προς το πλάτος ήταν 1,45. <ref>Man, John, ''Gutenberg: How One Man Remade the World with Word'' (2002) pp. 166–167, Wiley, ISBN 0-471-21823-5. "The half-folio page (30.7 × 44.5 cm) was made up of two rectangles—the whole page and its text area—based on the so called 'golden section', which specifies a crucial relationship between short and long sides, and produces an irrational number, as pi is, but is a ratio of about 5:8."</ref>

*Ορισμένες συγκεκριμένες αναλογίες στα σώματα πολλών ζώων, στα σώματα των ανθρώπων<ref name=pheasant>{{Cite book |first=Stephen |last=Pheasant |title=Bodyspace |location=London |publisher=Taylor & Francis |year=1998 |isbn=0-7484-0067-2 }}</ref><ref name=vanLaack>{{Cite book |first=Walter |last=van Laack |title=A Better History Of Our World: Volume 1 The Universe |location=Aachen |publisher=van Laach GmbH |year=2001 }}</ref>,σε τμήματα των κελυφών των μαλακίων καθώς και στα κεφαλόποδα συχνά φέρονται να είναι στην χρυσή αναλογία. Υπάρχει μια μεγάλη διακύμανση των πραγματικών μετρήσεων των στοιχείων αυτών σε συγκεκριμένα άτομα, όμως, και η εν λόγω αναλογία είναι συχνά σημαντικά διαφορετική από την χρυσή αναλογία. <ref name=pheasant/> Η αναλογία των διαδοχικών φαλάγγιων οστών και του μετακαρπίου οστού λέγεται ότι προσεγγίζει τη χρυσή αναλογία. <ref name=vanLaack/> Ο [[Ναυτίλος (ζωολογία)|ναύτιλος]], η κατασκευή του οποίου προχωρά σε μια λογαριθμική σπείρα, αναφέρεται συχνά, συνήθως με την άποψη ότι κάθε [[λογαριθμική σπείρα]] σχετίζεται με τη χρυσή αναλογία, αλλά μερικές φορές και με τον ισχυρισμό ότι κάθε νέα θάλαμος βρίσκεται σε χρυσή αναλογία με την προηγούμενη. <ref name=moscovich>[[Ivan Moscovich]], ''Ivan Moscovich Mastermind Collection: The Hinged Square & Other Puzzles,'' New York: Sterling, 2004</ref> Ωστόσο, οι μετρήσεις των μαλακίων αυτών δεν υποστηρίζουν τον ισχυρισμό αυτό <ref>{{Cite journal|title=Sea shell spirals|last=Peterson|first=Ivars|journal=Science News|url=http://www.sciencenews.org/view/generic/id/6030/title/Sea_Shell_Spirals}}</ref>.

*Οι αναλογίες των διαφόρων συστατικών των φυτών (αριθμοί των φύλλων στα κλαδιά, διάμετροι των γεωμετρικών σχημάτων μέσα σε λουλούδια) υποστηρίζεται ότι συχνά παρουσιάζουν την χρυσή αναλογία σε διάφορα είδη. <ref>Derek Thomas, ''Architecture and the Urban Environment: A Vision for the New Age,'' Oxford: Elsevier, 2002</ref> Στην πράξη, υπάρχουν σημαντικές διαφορές μεταξύ των ατόμων, εποχιακές διαφορές, και ηλικιακές διαφορές σε αυτά τα είδη.

*Στον τομέα των επενδύσεων, ορισμένοι επαγγελματίες της τεχνικής ανάλυσης χρησιμοποιούν τη χρυσή αναλογία για να υποστηρίξουν ένα επίπεδο τιμών ή την αντίσταση τους στις αυξήσεις των τιμών, μιας μετοχής ή ενός εμπορεύματος. Μετά από σημαντικές μεταβολές των τιμών προς τα πάνω ή προς τα κάτω, νέα επίπεδα στήριξης και αντίστασης υποτίθεται ότι βρέθηκαν στις τιμές αυτές ή κοντά σε αυτές που συνδέονται με την τιμή εκκίνησης μέσω της χρυσής αναλογίας. <ref>For instance, Osler writes that "38.2 percent and 61.8 percent retracements of recent rises or declines are common," in {{Cite journal|author=Osler, Carol|title=Support for Resistance: Technical Analysis and Intraday Exchange Rates|journal=Federal Reserve Bank of New York Economic Policy Review|year=2000|volume=6|issue=2|pages= 53–68| url=http://ftp.ny.frb.org/research/epr/00v06n2/0007osle.pdf|format=PDF}}</ref> Η χρήση της χρυσής αναλογίας όσον αφορά στις επενδύσεις, σχετίζεται επίσης με πιο περίπλοκα σχέδια που περιγράφονται από τους [[ακολουθία Φιμπονάτσι|αριθμούς Fibonacci]]. Ωστόσο, άλλοι αναλυτές της αγοράς έχουν δημοσιεύσει αναλύσεις που υποδηλώνουν ότι αυτά τα ποσοστά και τα πρότυπα δεν υποστηρίζονται από τα δεδομένα. <ref>[[Roy Batchelor]] and Richard Ramyar, "[http://www.webcitation.org/5reh6NujR Magic numbers in the Dow]," 25th International Symposium on Forecasting, 2005, p. 13, 31. "[http://www.telegraph.co.uk/finance/2947908/Not-since-the-big-is-beautiful-days-have-giants-looked-better.html Not since the 'big is beautiful' days have giants looked better]", Tom Stevenson, [[The Daily Telegraph]], Apr. 10, 2006, and "Technical failure", [[The Economist]], Sep. 23, 2006, are both popular-press accounts of Batchelor and Ramyar's research.</ref>