Μαθηματική ανάλυση: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Η μαθηματική ανάλυση αναπτύχθηκε επίσημα τον 17ο αιώνα κατά την διάρκεια της [[Επιστημονική επανάσταση|Επιστημονικής Επανάστασης]], αλλά πολλές απ΄ τις ιδέες της μπορούν να αναχθούν σε προηγούμενους μαθηματικούς. Νωρίτερα αποτελέσματα στην ανάλυση σιωπηρά παρουσιάστηκαν κατά τις πρώτες ημέρες των αρχαίων ελληνικών μαθηματικών. Για παράδειγμα ένα άπειρο γεωμετρικό άθροισμα είναι εμμέσως [[Παράδοξα του Ζήνωνα|παράδοξο της διχοτόμησης του Ζήνωνα]]. Αργότερα, [[Έλληνες μαθηματικοί|'Ελληνες μαθηματικοί]] όπως ο [[Εύδοξος ο Κνίδιος|Έυδοξος]] και ο [[Αρχιμήδης]] έκαναν να καταστεί πιο σαφής, αλλά ανεπίσημη, η χρήση των εννοιών των ορίων και της σύγκλισης, όταν χρησιμοποιείται η μέθοδος της εξάντλησης για να υπολογίσουμε το εμβαδόν και τον όγκο των περιφερειών και των στερεών. Η ρητή χρήση των [[Απειροστά|απειροστών]] εμφανίζεται στον Αρχιμήδη στην [[Μέθοδος Μηχανικών Θεωρημάτων|'Mέθοδο των Μηχανικών Θεωρημάτων']], ένα έργο που ανακαλύφθηκε τον 20ο αιώνα. Στην Ασία ο [[Κινέζοι μαθηματικοί|Κινέζος μαθηματικός]]  [[Liu Hui]] χρησιμοποίησε την μέθοδο εξαντλήσεως τον 3^ο αιώνα μ.Χ για να βρει το εμβαδόν του κύκλου. O [[Zu Chongzhi]] δημιούργησε μία μέθοδο που αργότερα θα ονομαστεί [[Cavalieri's principle|αρχή του Καβαλιέρι]] για να βρεί τον όγκο μίας [[σφαίρα|σφαίρας]] τον 5 ^ο αιώνα. Ο [[Ινδικά μαθηματικά|Ινδός μαθηματικός]] [[Bhāskara II]] έδωσε παραδείγματα [[παραγώγιση|παραγώγισης]] και χρησιμοποίησε ότι σήμερα είναι γνωστό ως [[θεώρημα του Rolle]] τον 12 ^ο αιώνα.

 

 

 

Τον 18^ο αιώνα ο [[Λέοναρντ Όιλερ|Όιλερ]] εισήγαγε την έννοια της [[Συνάρτηση|Μαθηματικής Συνάρτησης]]. Η Πραγματική Ανάλυση άρχισε να αναδεικνύεται σαν ανεξάρτητος κλάδος, όταν ο [[Bernard Bolzano|Μπέρναρντ Μπολτσάνο]] '''<nowiki/>'''εισήγαγε τον σύγχρονο ορισμό της συνεχείας το 1816, ωστόσο το έργο του Μπολτσάνο δεν διαδόθηκε ευρέως μέχρι τη δεκαετία του 1870. Το 1821, ο [[Cauchy|Κωσύ]] άρχισε να θέτει το λογισμό σε σταθερά λογικά θεμέλια με την απόρριψη της [[generality of algebra|αρχής της γενικότητας της  άλγεβρας]], η οποία χρησιμοποιούνταν ευρέως σε προηγούμενα έργα, ιδιαίτερα από τον Όιλερ. Αντ΄ αυτού, ο Κωσύ διατύπωσε το λογισμό στα πλαίσια γεωμετρικών ιδεών και [[απειροστό|απειροστών]]. Έτσι, ο ορισμός του για την συνέχεια, απαιτούσε μια απειροστική μεταβολή στον x, ώστε να αντιστοιχεί με μια απειροστική μεταβολή στον y. Επίσης, εισήγαγε την έννοια των [[Ακολουθίες του Cauchy|Ακολουθιών του Cauchy]] και ξεκίνησε την επίσημη θεωρία της [[Μιγαδική ανάλυση|Μιγαδικής Ανάλυσης]]. Ο [[Poisson|Πουασόν]], ο [[Liouville|Λιουβίλ]], ο [[Ζοζέφ Φουριέ|Φουριέ]] και άλλοι μελέτησαν τις μερικές διαφορικές εξισώσεις και την [[Αρμονική Ανάλυση]]. Η συνεισφορά αυτών των μαθηματικών και άλλων, όπως του [[Weierstrass|Βάιερστρας]] ,οδήγησε στην προσέγγιση του [[(ε,δ) definition of limit|(ε,δ) ορισμού του ορίου]] ,ιδρύοντας με αυτό τον τρόπο τον σύγχρονο κλάδο της μαθηματικής ανάλυσης.