|
=== Γκάους ===
Ένα από τα ιδρυτικά έργα της αλγεβρικής θεωρίας αριθμών, η '''''Disquisitiones Arithmeticae''''' '''<nowiki/>'''( [[Λατινικά]] : ''Αριθμητικές Διερευνήσεις'') είναι ένα εγχειρίδιο της θεωρίας αριθμών γραμμένο στα Λατινικά <ref>{{Cite web|url = http://yalepress.yale.edu/yupbooks/book.asp?isbn=9780300094732|title = Disquisitiones Arithmeticae|date = |accessdate = |website = |publisher = |last = |first = |location = at Yalepress.yale.edu}}</ref> από τον Καρλ Φρίντριχ Γκάους το 1798, όταν ο Γκάους ήταν 21 ετών και δημοσιεύτηκε για πρώτη φορά το 1801, όταν ήταν 24. Σε αυτό το βιβλίο ο Γκάους συγκεντρώνει αποτελέσματα της θεωρίας αριθμών που λαμβάνονται από μαθηματικούς όπως o [[Πιερ ντε Φερμά]],ο [[Λέοναρντ Όιλερ]],ο [[Ζοζέφ Λουί Λαγκράνζ]] και ο [[Αντριέν-Μαρί Λεζάντρ]] και προσθέτει σημαντικά δικά του αποτελέσματα. Πριν δοθεί στη δημοσιότητα η ''Disquisitiones'', η θεωρία αριθμών αποτελείτο από μια συλλογή απομονωμένων θεωρημάτων και εικασιών. Ο Γκάους συγκέντρωσε το έργο των προκατόχων του μαζί με το δικό του πρωτότυπο έργο σε ένα συστηματικό πλαίσιο, συμπλήρωσε κενά, διόρθωσε εσφαλμένες αποδείξεις και επέκτεινε το θέμα με πολλούς τρόπους.
Η ''Disquisitiones'' ήταν το σημείο εκκίνησης για την έρευνα και άλλων μαθηματικών του δέκατου ένατου αιώνα από την [[Ευρώπη]], συμπεριλαμβανομένων των [[Έρνστ Κούμερ]], [[Πέτερ Γκουστάφ Λεζέν Ντίριχλετ]] και [[Ρίχαρντ Ντέντεκιντ]]. Πολλοί από τους σχολιασμούς που δόθηκαν από τον Γκάους είναι αποτέλεσμα ανακοινώσεων της περαιτέρω έρευνας του, μερικές από τις οποίες παρέμειναν αδημοσίευτες. Πρέπει να έχουν φανεί ιδιαίτερα αινιγματικές στους σύγχρονούς του: εμείς μπορούμε τώρα να τις αναγνωρίζουμε ειδικότερα.ως βάση των θεωριών [[L-συνάρτηση|L-συνάρτησεις]] και [[Μιγαδικός Πολλαπλασιασμός]].
Μία σημαντική γενίκευση της έννοιας των πρώτων ιδεωδών στον Ο επιτυγχάνεται με το πέρασμα από την ''ιδανική-θεωρητική'' προσέγγιση στην λεγόμενη ''εκτιμητική-θεωρητική'' προσέγγιση . Η σχέση μεταξύ των δύο προσεγγίσεων προκύπτει ως εξής. Εκτός από τη λειτουργία της [[απόλυτη τιμή|συνήθης απόλυτης τιμής]] <math>|\cdot|</math> :'''Q'''<math>\rightarrow</math>'''R''', υπάρχουν [[απόλυτες τιμές (συναρτήσεις)]] <math>|\cdot|_p</math>:'''Q'''<math>\rightarrow</math>'''R''' που ορίζονται για κάθε πρώτο αριθμό p στον '''Ζ''' και ονομάζονται [[p-αδικες απόλυτες τιμές]]. Το [[θεώρημα Οστρόφσκι|θεώρημα του Οστρόφσκι]] αναφέρει ότι αυτές είναι όλες οι πιθανές απόλυτες τιμές (συναρτήσεις) στον '''Q''' (ως ισοδυναμίες). Αυτό υποδηλώνει ότι η συνήθης απόλυτη τιμή θα μπορούσε να θεωρηθεί ως ένας άλλος πρώτος. Γενικότερα, '''πρώτος σε ένα αλγεβρικό σώμα αριθμών ''Κ''''' (επίσης καλείται και '''θέση''') είναι μια [[Σχέση ισοδυναμίας|κλάση ισοδυναμίας]] των απόλυτων τιμών στο ''Κ''. Οι πρώτοι αριθμοί στο ''Κ'' είναι δύο ειδών: p-αδικές απόλυτες τιμές <math>|\cdot|_p</math> μια για κάθε πρώτο ιδεώδες του ''Ο'' και η απόλυτη τιμή <math>|\cdot|</math> που ορίζεται θεωρώντας το ''Κ'' ως ένα υποσύνολο των [[Μιγαδικός αριθμός|μιγαδικών αριθμών]] με διάφορους πιθανούς τρόπους και χρησιμοποιώντας την απόλυτη τιμή |·| : '''C''' → '''R'''. Ένας πρώτος αριθμός της πρώτης περίπτωσης καλείται '''πεπερασμένος πρώτος''' (ή '''πεπερασμένη θέση''') και ένας πρώτος της δεύτερης περίπτωσης καλείται '''άπειρος πρώτος''' (ή '''άπειρη θέση'''). Έτσι, το σύνολο των πρώτων αριθμών του '''Q''' γενικά συμβολίζεται ως { 2 , 3 , 5 , 7 , ..., ∞ } και η συνήθης απόλυτη τιμή στον '''Q''' συχνά συμβολίζεται ως | · | ∞.
Το σύνολο των άπειρων πρώτων αριθμών του ''Κ '''<nowiki/>'''''μπορεί να περιγραφεί ρητά υπό τους όρους των εμβυθίσεων ''K'' → '''C''' (το μη-μηδενικό [[δακτύλιος ομομορφισμού|δακτύλιο ομομορφισμού]] από το '''Κ''' στο '''C'''). Συγκεκριμένα, το σύνολο των εμβυθίσεων μπορεί να χωριστεί σε δύο ανεξάρτητα υποσύνολα, εκείνων που η [[Εικόνα (μαθηματικά)|εικόνα]] τους ανήκει στο '''R''', και των υπολοίπων. Για κάθε εμβύθιση σ : ''K'' → '''R''', αντιστοιχεί ένας μοναδικός πρώτος του ''Κ'' που προέρχεται από την απόλυτη τιμή που λαμβάνεται από τη σύνθεση της σ με τη συνήθη απόλυτη τιμή στον '''R'''. 'Ενας πρώτος που προκύπτει κατά αυτόν τον τρόπο ονομάζονται '''πραγματικος πρώτος''' (ή '''πραγματική θέση'''). Σε μία εμβύθιση τ : ''K'' → '''C''' της οποίας η εικόνα δεν περιέχεται στο '''R''', μπορεί κανείς να κατασκευάσει μία ξεχωριστή εμβύθιση <math>\overline \tau</math>, που ονομάζεται συζυγής εμβύθιση, συνθέτοντας την τ με την μιγαδική απεικόνιση '''C''' → '''C'''. Λαμβάνοντας υπόψη ένα τέτοιο ζεύγος εμβυθίσεων <math>\tau</math> και <math>\overline \tau</math>, για ακόμα μία φορά υπάρχει μοναδική αντιστοιχία πρώτων του ''Κ'' που λαμβάνεται με την σύνθεση της τ με τη συνήθη απόλυτη τιμή (αντιθέτως συνθέτοντας με την <math>\overline \tau</math> παίρνουμε το ίδιο αποτέλεσμα με την απόλυτη τιμή, δεδομένου ότι | z | = | <math>\overline z</math> | για κάθε μιγαδικό αριθμό z ,όπου το <math>\overline z</math> συμβολίζει το συζυγή μιγαδικό του z). Ένας τέτοιος πρώτος ονομάζεται '''μιγαδικός πρώτος''' (ή '''μιγαδική θέση'''). Η περιγραφή του συνόλου των απείρων πρώτων αριθμών γίνεται ως εξής: κάθε άπειρος πρώτος αριθμός αντιστοιχεί σε μία μοναδική εμβύθιση σ : ''K'' → '''R''' , ή σε ένα ζεύγος συζυγών εμβυθίσεων <math>\tau</math>, <math>\overline \tau</math> : ''K'' → '''C'''. Ο πλήθος των πραγματικών (αντίστοιχα μιγαδικών) πρώτων συχνά συμβολίζεται με <math>r_1</math> (αντίστοιχα <math>r_2</math>). Στην συνέχεια ο συνολικός αριθμός των εμβυθίσεων ''K'' → '''C''' είναι <math>r_1+2r_2</math> (που στην πραγματικότητα ισούται με τον βαθμό της επέκτασης ''Κ''/'''Q''').
=== Μοναδιαία στοιχεία ===
|
