0,999...: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

 

==Αποδείξεις από την κατασκευή των πραγματικών αριθμών==

 

Ορισμένες προσεγγίσεις ορίζουν ρητά πραγματικούς αριθμούς [[κατασκευή των πραγματικών αριθμών|δομές που δημιουργήθηκαν κατά την αριθμιτική ορθολογική]], με [[αξιωματική θεωρία συνόλων]]. Οι [[φυσικός αριθμός]] - 0, 1, 2, 3, και ούτω καθεξής - αρχίζουν με 0 και συνεχίζουν προς τα πάνω, έτσι ώστε κάθε αριθμός έχει διάδοχο. Κάποιος μπορεί να επεκτείνει τους φυσικούς αριθμούς με τα αρνητικά τους να δώσουν όλα τα [[ακέραιος]] , και να επεκτείνει περαιτέρω τις αναλογίες, δίνοντας την [[αριθμιτική ορθολογική]] . Αυτά τα αριθμητικά συστήματα συνοδεύονται από την αριθμητική πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμό και διαίρεση. Πιο διακριτικά, περιλαμβάνουν [[θεωρία διάταξης|διάταξη]], έτσι ώστε ένας αριθμός να μπορεί να συγκριθεί με ένα άλλο και βρέθηκε να είναι μικρότερος από, μεγαλύτερος από, ή ίσος με άλλο αριθμό.