Μήκος τόξου: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

[[Αρχείο:Arc_length.gif|δεξιά|με-πλαίσιο|Όταν η καμπύλη διορθωθείευθυγραμμιστεί, δίνει ένα ευθύγραμμο τμήμα με το ίδιο μήκος με τη καμπύλη του μήκους του τόξου.|352x352εσ]]

[[Αρχείο:Arclength.svg|δεξιά|μικρογραφία|400x400εσ|Προσέγγιση κατά πολλαπλά γραμμικά τμήματα]]

Μια καμπύλη στο επίπεδο μπορεί να προσεγγιστεί από τη σύνδεση ενός πεπερασμένου αριθμό σημείων στην καμπύλη χρησιμοποιώντας τμήματα της γραμμής για να δημιουργήσετε ένα πολυγωνικό μονοπάτι. Δεδομένου ότι είναι εύκολο να υπολογιστεί το μήκος του κάθε γραμμικού τμήματος (χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα σε Ευκλείδειο χώρο, για παράδειγμα), το συνολικό μήκος της προσέγγισης μπορεί να βρεθεί από την άθροιση των μηκών του κάθε γραμμικού τμήματος? Αυτή η προσέγγιση είναι γνωστή ως η (σωρευτικά) συγχορδιακή απόσταση. [1]

Για κάποιες καμπύλες υπάρχει ένας μικρότερος αριθμός L ο οποίος είναι ένα άνω όριο του μήκους της κάθε πολυγωνικής προσέγγισης. Αυτές οι καμπύλες ονομάζονται διορθώσιμεςευθυγραμμίσιμες και ο αριθμός L ορίζεται ως το μήκος του τόξου.

ΝαΈστω <math>f:[a,b]\to\R^n</math> να είναι μία [[Συνέχεια συνάρτησης|συνεχώς]] διαφορίσιμεςδιαφορίσιμη λειτουργία. Το μήκος της καμπύλης που ορίζεται από την <math>f</math> μπορεί να οριστεί ως το [[Όριο (μαθηματικά)|όριο]] του αθροίσματος τωντου ευθύγραμμομήκους τμήματων μήκηευθυγράμμων τμημάτων για έναμία κανονικόκανονική διαμέρισμαδιαμέρηση του <math>[a,b]</math> , όπωςκαθώς τονο αριθμόαριθμός των τμημάτων πλησιάζει τοστο άπειρο.

Αυτό σημαίνει:

όπου <math>t_i=a+i(b-a)/N=a+i\Delta t</math> για <math>i=0,1,\dots,N.</math> τον

Ο ορισμόορισμός Αυτόαυτός είναι ισοδύναμοισοδύναμος με τον ορισμό του μήκος του τόξου ως αναπόσπαστο:

Η τελευταίαπαραπάνω ισότητα παραπάνω είναι αλήθειααληθής, επειδή ο ορισμός της παραγώγου ως όριο σημαίνει ότι υπάρχει μια θετική πραγματική λειτουργίασυνάρτηση <math>\delta(\epsilon)</math>, των θετικών πραγματικών αριθμών <math>\epsilon</math> , όπωςετσι ότιώστε <math>\Delta t<\delta(\epsilon)</math>. συνεπάγεταιΣυνεπάγεται <math>\left|\bigg|\frac{f(t_i)-f(t_{i-1})}{\Deltaλοιπόν t}\bigg|-\Big|f'(t_i)\Big|\right|<\epsilon.</math> Αυτό σημαίνειοτι:

έχει απόλυτη τιμή μικρότερη απο το γινόμενο <math>\epsilon (b-a)</math> ,για <math>N>(b-a)/\delta(\epsilon).</math> Αυτό σημαίνει ότι τοκαθώς όριοτο <math>N\rightarrow\infty,</math> στο αριστερό πάνωμέρος όρουείναι ισούταισχεδόν ισο με το σωστόδεξί όρομερος της ισότητας, που είναι τοο ολοκλήρωμαορισμος του [[Ολοκληρώματος Riemann]] της <math>|f'(t)|</math> σεστο διάστημα <math>[a,b].</math> ΑυτόνΑυτός τονο ορισμόορισμός μήκοςτου τόξωνμήκους τόξου δείχνει ότι το μήκος τηςμιας καμπύλης <math>f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}^n</math> συνεχώς διαφορίσιμεςδιαφορίσιμη στο <math>[a,b]</math> είναι πάντα πεπερασμένηπεπερασμένο. Με άλλα λόγια, η καμπύλη είναι πάντα επανορθώσιμωνευθυγραμμίσιμη.

όπου το supremum λαμβάνεταιυπολογίζεται πάνωλαμβάνοντας απόυπ'οψην όλες τις πιθανές κατατμήσεις <math>a=t_0<t_1<\dots <t_{N-1}<t_N=b</math> του <math>[a,b].</math><ref>{{Πρότυπο:Cite book|title=Principles of Mathematical Analysis|last=Rudin|first=Walter|publisher=McGraw-Hill, Inc.|year=1976|isbn=0-07-054235-X|location=|pages=137}}</ref> Αυτός ο ορισμός ισχύει επίσης αν η <math>f</math> είναι απλώς συνεχής,και δεν είναι διαφορίσιμεςδιαφορίσιμη.

Μια καμπύλη μπορεί να παραμετροποιηθείπαραμετρικοποιηποιηθεί με άπειρους τρόπους. ΑςΈστω <math>\varphi:[a,b]\to [c,d]</math> να είναι μια οποιαδήποτε συνεχώς διαφορίσιμεςδιαφορίσιμη, [[αμφιμονοσήμαντη]] (ή [[Επί συναρτηση|επί]]) bijectionσυναρτηση. ΣτηΈστω συνέχειαεπίσης, <math>g=f\circ\varphi^{-1}:[c,d]\to\R^n</math> είναι έναμία άλλοάλλη συνεχώς διαφορίσιμεςδιαφορίσιμη παραμετροποίησηπαραμετρικοποίηση της καμπύλης που αρχικά ορίζεται από <math>f.</math> Το μήκος τόξου της καμπύλης είναι ητο ίδιαίδιο, ανεξάρτητα από την παραμετροποίησηπαραμετρικοποίηση που χρησιμοποιούνταιχρησιμοποιείται για τον ορισμό της καμπύλης: