Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων του «Τύπος του Όιλερ»

καμία σύνοψη επεξεργασίας
μ (Ο Tony Esopi μετακίνησε τη σελίδα Τύπος του Euler στην Τύπος του Όιλερ: όπως το Ταυτότητα του Όιλερ - ομοιομορφία)
''' '''Ο '''τύπος του Euler, '''που πήρε το όνομά του από τον [[Λέοναρντ Όιλερ|Leonhard Euler]], είναι ένας μαθηματικός τύπος στη [[μιγαδική ανάλυση]] που καθορίζει τη θεμελιώδη σχέση μεταξύ των [[Τριγωνομετρική συνάρτηση|τριγωνομετρικών συναρτήσεων]] και της [[Εκθετική συνάρτηση|εκθετικής συνάρτησης]] με φανταστικό όρισμα. <spanΣύμφωνα class="cx-segment"με data-segmentid="112"></span>τον τύπο του Euler για κάθε πραγματικό αριθμό {{Math|''x''}} ισχύει
 
<math> e^{ix}=\cos x+i\sin x, </math>
 
όπου {{Math|''e''}} είναι η βάση του φυσικού λογαρίθμου, {{Math|''i''}} η φανταστική μονάδα, ενώ τα {{Math|cos}} and {{Math|sin}} συμβολίζουν τις [[τριγωνομετρικές συναρτήσεις]] του συνημιτόνου και του ημιτόνου, αντίστοιχα, με το όρισμα {{Math|''x''}} να δίνεται σε ακτίνια. Η ανωτέρω μιγαδική εκθετική συνάρτηση καλείται μερικές φορές {{nobreak|''[[cis (mathematics)|cis]]''(''x'')}} ("''c''osine plus ''i'' ''s''ine"). Ο τύπος του Euler ισχύει και στην περίπτωση που το όρισμα {{Math|''x''}} είναι μιγαδικός αριθμός, με αποτέλεσμα ορισμένοι συγγραφείς να αναφέρονται σε αυτή την πιο σύνθετη εκδοχή της ως τύπο του Euler.<ref>{{cite book | first=Martin A. | last= Moskowitz | title=A Course in Complex Analysis in One Variable | publisher=World Scientific Publishing Co. | year=2002 | isbn=981-02-4780-X | pages=7}}</ref>
 
Ο τύπος του Euler συναντάται στα μαθηματικά, τη φυσική και τη μηχανική. Ο φυσικός [[Ρίτσαρντ Φίλλιπς Φάινμαν|Richard Feynman]] αποκάλεσε την εξίσωση "κόσμημα" και "τον πιο αξιοσημείωτο τύπο στα μαθηματικά."<ref>{{cite book|first=Richard P.|last= Feynman|title=The Feynman Lectures on Physics, vol. I|publisher=Addison-Wesley|year=1977|isbn=0-201-02010-6|page=22-10}}</ref>
 
==Ιστορία==
Ο Johann Bernoulli παρατήρησε ότι<ref>Johann Bernoulli, Solution d'un problème concernant le calcul intégral, avec quelques abrégés par rapport à ce calcul, ''Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de Paris'', 197-289 (1702).</ref>
 
<math>\dfrac {1}{1+x^{2}}=\dfrac {1}{2}\left( \dfrac {1}{1-ix}+\dfrac {1}{1+ix}\right)</math>
 
και εφόσον
 
<math>\int \dfrac {dx}{1+ax}=\dfrac {1}{a}\ln \left( 1+ax\right) +C</math>
 
η παραπάνω εξίσωση μας λέει κάτι για τους μιγαδικούς λογαριθμούς, παρ' όλο που ο Bernoulli δεν προχώρησε σε υπολογισμό του ολοκληρώματος. Από την αλληλογραφία του Bernoulli με τον Euler (που επίσης γνώριζε την παραπάνω εξίσωση) προκύπτει ότι ο Bernoulli δεν κατανοούσε πλήρως τους μιγαδικούς λογαρίθμους. Ο Euler πρότεινε επίσης ότι οι μιγαδικοί αριθμοί μπορούν να έχουν απείρως πολλές τιμές.
 
Εν τω μεταξύ, ο Roger Cotes, το 1714, ανακάλυψε ότι
 
<math>ix=\ln \left( \cos x+i\sin x\right). </math>
 
(<math>\ln</math> είναι ο φυσικός λογάριθμος)<ref name="Stillwell">{{cite book|author=John Stillwell|title=Mathematics and Its History|publisher=Springer|year=2002 | url = https://books.google.com/books?id=V7mxZqjs5yUC&pg=PA315}}</ref>
 
Στον Cotes διέφυγε ότι ένας μιγαδικός λογάριθμος μπορεί να έχει απείρως πολλές τιμές, που διαφέρουν μεταξύ τους κατά πολλαπλάσια του {{Math|2iπ}} εξαιτίας της περιοδικότητας των τριγωνομετρικών συναρτήσεων.
 
==Αναφορές==
<references/>
18

επεξεργασίες