Αρμονική συνάρτηση: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
παρατηρήσεις για τις αρμονικές συναρτήσεις |
προσθηκη στοιχείων για αρμονικες συναρτησεις |
||
Γραμμή 4:
Αυτό συνήθως γράφεται ως: <math>\nabla\ ^2f=0</math> ή <math>\bigtriangleup f=0</math>.
== Ετυμολογία του όρου "αρμονική" ==
== Παραδείγματα ==
Παραδείγματα αρμονικών συναρτήσεν με δύο μεταβλητές είναι:
* Το πραγματικό ή το φανταστικό μέρος μιας ολομορφικής συνάρτησης
* Η συνάρτηση <math>\,\! f(x,y)=e^{x} \sin y</math>, αυτή είναι μια ειδική περίπτωση του παραπάνω παράδειγματος, καθώς <math>f(x,y)=\operatorname{Im}(e^{x+iy})</math> και να <math>e^{x+iy}</math> είναι ολομορφική συνάρτηση.
* Η συνάρτηση
:: <math>\,\! f(x_1,x_2)=\ln (x_1^2+x_2^2)</math>
: ορίζεται <math>\mathbb{R}^2 \setminus \lbrace 0 \rbrace</math> (π. χ. το ηλεκτρικό δυναμικό που οφείλεται σε μια γραμμή, και το δυναμικό βαρύτητας που οφείλεται σε μια μεγάλη κυλινδρική μάζα).
Παραδείγματα αρμονικών συναρτήσεων τριών μεταβλητών δίνονται στον παρακάτω πίνακα με <math>r^2=x^2+y^2+z^2</math>:
: {| class="wikitable"
!Συνάρτηση
!Σημείο Ανωμαλίας
|-
| align="center" |<math>\frac{1}{r}</math>
|Μονάδα σημείο δαπάνη προέλευσης
|-
| align="center" |<math>\frac{x}{r^3}</math>
|x-σκηνοθεσία δίπολο στο καταγωγής
|-
| align="center" |<math>-\ln(r^2-z^2)\,</math>
|Γραμμή μοναδιαία χρέωση πυκνότητα σε ολόκληρο το z-άξονα
|-
| align="center" |<math>-\ln(r+z)\,</math>
|Γραμμή μοναδιαία χρέωση πυκνότητα στην αρνητική z-άξονα
|-
| align="center" |<math>\frac{x}{r^2-z^2}\,</math>
|Γραμμή του x-σκηνοθεσία δίπολα σε ολόκληρο τον άξονα ζ
|-
| align="center" |<math>\frac{x}{r(r+z)}\,</math>
|Γραμμή του x-σκηνοθεσία δίπολα σε αρνητικό άξονα ζ
|}
Αρμονικές συναρτήσεις που προκύπτουν στη φυσική προσδιορίζονται από τα ανώμαλα σημεία και τις συνοριακές συνθήκες (όπως οριακών συνθηκών Dirichlet ή Neumann οριακές συνθήκες). Στις περιοχές χωρίς όρια, προσθέτοντας το πραγματικό ή το φανταστικό μέρος κάθε συνάρτησης παράγει μια αρμονική συνάρτηση με το ίδιο ανώμαλο σημείο, οπότε σε αυτή την περίπτωση, η αρμονική συνάρτηση δεν καθορίζεται από το ανώμαλο σημείο της, ωστόσο, μπορούμε να κάνουμε τη λύση μοναδική σε φυσικές καταστάσεις, απαιτώντας ότι η λύση τείνει στο 0, τείνοντας στο άπειρο. Σε αυτή την περίπτωση, η μοναδικότητα προκύπτει από το θεώρημα του Liouville.
Τα ανώμαλα σημεία των παραπάνω αρμονικών συναρτήσεων εκφράζονται ως "φορτία" και "πυκνότητες φορτίων" χρησιμοποιώντας την ορολογία της [[Ηλεκτροστατική|ηλεκτροστατικής]]. Έτσι η αντίστοιχη αρμονική συνάρτηση θα είναι ανάλογη με το [[Ηλεκτρικό δυναμικό|ηλεκτροστατικό δυναμικό]] λόγω αυτών των κατανομών του φορτίου. Κάθε ανωτέρω συνάρτηση όταν πολλαπλασιαστεί με μια σταθερά, που περιστρέφεται, ή/και μια σταθερά που προστίθεται, θα παράξει μια άλλη αρμονική συνάρτηση. Η αντιστροφή κάθε συνάρτησης, θα δώσει άλλη μια αρμονική συνάρτηση η οποία έχει ανώμαλα σημεία της εικόνες των αρχικών ανώμαλων σημείων σε ένα σφαιρικό "καθρέφτη". Ακόμη, το άθροισμα δύο αρμονικών συναρτήσεων θα δώσει άλλη μια αρμονική συνάρτηση.
Τέλος, παραδείγματα αρμονικών συναρτήσεων ''n'' μεταβλητών είναι:
* Οι σταθερές, γραμμικές και συναφής συναρτήσεις σε όλο το '''R'''<sup>''n''</sup> (για παράδειγμα, το [[ηλεκτρικό δυναμικό]] μεταξύ των πλακών του [[Πυκνωτής|πυκνωτή]], και η βαρύτητα δυναμικό της πλάκας)
* Η συνάρτηση<math>\,\! f(x_1,\dots,x_n)=({x_1}^2+\cdots+{x_n}^2)^{1-n/2}</math> στο<math>\mathbb{R}^n \setminus \lbrace 0 \rbrace</math> για ''n'' > 2.
== Παρατηρήσεις ==
Γραμμή 17 ⟶ 57 :
Ας εξεταστεί η ακολουθία <math>fn(x,y)={1 \over n}\exp(nx)\cos(ny)</math> , ορισμένη στο <math>(-\infty,0)\times R</math>. Η ακολουθία αυτή είναι αρμονική και συγκλίνει ομοιόμορφα στη μηδενική συνάρτηση. Παρ' όλα αυτά πρέπει να σημειωθεί ότι οι [[Μερική παράγωγος|μερικές παράγωγοι]] της δεν συγκλίνουν στη μηδενική συνάρτηση(δηλαδή την παράγωγο της μηδενικής συνάρτησης). Με το παράδειγμα αυτό τονίζεται η σημασία που παίζει η ιδιότητα της μέσης τιμής και η συνέχεια για να υποστηριχθεί ότι το όριο είναι αρμονικό.
== Σύνδεση με τη θεωρία των μιγαδικών συναρτήσεων ==
Το πραγματικό και το φανταστικό μέρος κάθε ολόμορφης συνάρτησης δίνουν αρμονικές συναρτήσεις στον '''R'''<sup>2</sup> (αυτές αποτελούν ένα ζευγάρι σηζυγών αρμονικών συναρτήσεων). Αντιστρόφως, κάθε αρμονική συνάρτηση ''u'' σε ένα ανοιχτό υποσύνολο Ω του '''R'''<sup>2</sup> είναι ''τοπικά'' το πραγματικό μέρος μιας ολόμορφης συνάρτησης. Αυτό είναι άμεσα αντιληπτό παρατηρώντας την ''z'' = ''x'' + ''iy''. Η μιγαδική συνάρτηση ''g''(''z'') := ''u<sub>x</sub>'' − i ''u<sub>y</sub>'' είναι ολόμορφη στο Ω επειδή ικανοποιεί τις εξισώσεις Cauchy-Riemann. Ως εκ τούτου, ''το g'' έχει τοπικά μια παράγουσα ''f,'' και το ''u'' είναι το πραγματικό μέρος της ''f'' πάνω σε μια σταθερά, όπως το ''u<sub>x</sub>'' είναι το πραγματικό μέρος της <math>\scriptstyle f\,^\prime=g</math> .
Αν και η παραπάνω αντιστοιχία με τις ολόμορφες συναρτήσεις ισχύει μόνο για συναρτήσεις δύο πραγματικών μεταβλητών, αρμονικές συναρτήσεις με ''n'' μεταβλητές εξακολουθούν να έχουν μια σειρά από ιδιότητες που χαρακτηρίζουν τις ολόμορφες συναρτήσεις. Είναι (πραγματικό) αναλυτικές, έχουν ένα μέγιστο αρχή και μέση τιμή αρχής * θεώρημα της αφαίρεσης της ιδιαιτερότητες καθώς και το θεώρημα Liouville ισχύει και για τους κατ ' αναλογία με τα αντίστοιχα θεωρήματα σε μιγαδικές συναρτήσεις θεωρία.
| |||