Πεντάγωνο: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
Επιμέλεια |
Επέκταση |
||
Γραμμή 1:
{{για|το πεντάγωνο στη γεωμετρία||Πεντάγωνο (αποσαφήνιση)}}
Στη [[γεωμετρία]], '''πεντάγωνο''' ή '''5-γωνο''' λέγεται ένα [[πολύγωνο]] που έχει πέντε πλευρές (και γωνίες). Το άθροισμα των [[Εσωτερική γωνία|εσωτερικών γωνιών]] ενός [[Απλό πολύγωνο|απλού]] πενταγώνου είναι 540°.
Ένα πεντάγωνο μπορεί να είναι απλό ή αυτοτεμνόμενο. Ένα αυτοτεμνόμενο κανονικό πεντάγωνο (πεντάγωνο αστέρι) ονομάζεται [[Πεντάγραμμα (γεωμετρία)|πεντάγραμμο]].
== Κανονικό πεντάγωνο ==
{| border="1" bgcolor="#ffffff" cellpadding="5" align="right" style="margin-left:10px" width="250"
!bgcolor=#e7dcc3 colspan=2|Κανονικό πεντάγωνο
Γραμμή 16 ⟶ 22 :
|bgcolor=#e7dcc3|Εσωτερική γωνία||108°
|}
Το '''Κανονικό πεντάγωνο''' είναι το
Το [[Κανονικό πολύγωνο|κανονικό]] πεντάγωνο έχει εσωτερική γωνία 108° και πέντε γραμμές με [[ανακλαστική συμμετρία|ανακλαστική]] και [[περιστροφική συμμετρία]] τάξης 5 (των 72°, 144°, 216° και 288°). Οι [[Διαγώνιος|διαγώνιοι]] του [[Κυρτό πολύγωνο|κυρτού]] κανονικού πενταγώνου είναι σε [[χρυσή τομή]] προς τις πλευρές του. Το ύψος του (απόσταση από μια πλευρά στην απέναντι κορυφή) και το πλάτος (απόσταση μεταξύ των δύο πιο απομακρυσμένων σημείων του, η οποία ισούται με το μήκος των διαγωνίων) δίνονται από τους παρακάτω τύπους για μήκος πλευράς ''t'':
Το ύψος (<math>\Upsilon</math>):
:<math>\Upsilon = \frac{\sqrt{5+2\sqrt{5}}}{2} \cdot t\approx 1.539 \cdot t,</math>
Το πλάτος (<math>\Pi</math>) και η διαγώνιος (<math>\Delta</math>):
:<math>\Pi = \Delta = \frac{1+\sqrt5}{2} \cdot t\approx 1.618 \cdot t,</math>
Επίσης, η διαγώνιος με βάση την ακτίνα ''R'' του [[Περιγεγραμμένος κύκλος|περιγεγραμμένου κύκλου]]:
:<math>\Delta = R\ {\sqrt { \frac {5+\sqrt{5}}{2}} } = 2R\cos 18^\circ = 2R\cos\frac{\pi}{10} \approx 1.902 R,</math>
Η χρυσή τομή:
{|
|[[Αρχείο:01-Fünfeck-Seite-vorgegeben-wiki.svg|200px|Κανονικό πεντάγωνο διδομένης πλευράς]]
|<math>\frac{\overline{BJ}}{\overline{AB}} = \frac{\overline{AB}}{\overline{AJ}} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}= \Phi \approx 1{,}618</math>
|}
Το εμβαδόν ενός κυρτού κανονικού πενταγώνου με μήκος πλευράς ''t'' δίνεται από τον τύπο:
▲Το '''Κανονικό πεντάγωνο''' είναι το διδιάστατο κυρτό σχήμα που έχει πέντε ίσες πλευρές ή το [[Πεντάγωνο (μαθηματικά)|πεντάγωνο]] που έχει ίσες πλευρές.
:<math>A = \frac{{t^2 \sqrt {25 + 10\sqrt 5 } }}{4} = \frac{5t^2 \tan(54^\circ)}{4} \approx 1.720 t^2.</math>
== Κατασκευή κανονικού πενταγώνου ==
[[Αρχείο:Pentagon construct.gif|μικρογραφία|δεξιά|Μια μέθοδος κατασκευής κανονικού πενταγώνου]]
Το κανονικό πεντάγωνο είναι [[πολύγωνο]] που μπορεί να κατασκευαστεί χρησιμοποιώντας [[κανόνας (μαθηματικά)|κανόνα]] και [[Διαβήτης (όργανο)|διαβήτη]] ως εγγεγραμμένο σε κύκλο, είτε κατασκευάζοντας το από μια δοσμένη γωνία.<ref>[http://www.opentutorial.com/Construct_a_pentagon How to construct a regular pentagon] using only compass and straightedge.</ref> Αυτή η διαδικασία αναφέρθηκε από τον [[Ευκλείδης|Ευκλείδη]], περίπου το 300 π.Χ. στο έργο του ''[[Στοιχεία]]''.
Γραμμή 63 ⟶ 93 :
{{κανονικά πολύγωνα}}
{{DEFAULTSORT:Πενταγωνο}}
[[Κατηγορία:Πολύγωνα
| |||