Τύπος του Όιλερ: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

όπου {{Math|''e''}} είναι η βάση του φυσικού λογαρίθμου, {{Math|''i''}} η φανταστική μονάδα, ενώ τα {{Math|cos}} and {{Math|sin}} συμβολίζουν τις [[τριγωνομετρικές συναρτήσεις]] του συνημιτόνου και του ημιτόνου, αντίστοιχα, με το όρισμα {{Math|''x''}} να δίνεται σε ακτίνια. Η ανωτέρωπαραπάνω μιγαδική εκθετική συνάρτηση καλείται μερικές φορές {{nobreak|''[[cis (mathematics)|cis]]''(''x'')}} ("''c''osine plus ''i'' ''s''ine"). Ο τύπος του Euler ισχύει και στην περίπτωση που το όρισμα {{Math|''x''}} είναι μιγαδικός αριθμός, με αποτέλεσμα ορισμένοι συγγραφείς να αναφέρονται σε αυτή την πιο σύνθετη εκδοχή της ως τύπο του Euler.<ref>{{cite book | first=Martin A. | last= Moskowitz | title=A Course in Complex Analysis in One Variable | publisher=World Scientific Publishing Co. | year=2002 | isbn=981-02-4780-X | pages=7}}</ref>

<math>\int \dfrac {dx}{1+ax}=\dfrac {1}{a}\ln \left( 1+ax\right) +C ,</math>

Στον Cotes διέφυγε ότι ένας μιγαδικός λογάριθμος μπορεί να έχει απείρως πολλές τιμές, που διαφέρουν μεταξύ τους κατά πολλαπλάσια του {{Math|2iπ}} εξαιτίας της περιοδικότητας των τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Γύρω στο 1740 ο Euler έστρεψε την προσοχή του από τους λογαρίθμους στην εκθετική συνάρτηση και κατέληξε στον τύπο που χρησιμοποιείται σήμερα και έχει το όνομά του. Δημοσιεύτηκε το 1748 και προέκυψε από τη σύγκριση των αναπτυγμάτων σε σειρά της εκθετικής συνάρτησης και των τριγωνομετρικών εκφράσεων.