Αρμονική συνάρτηση: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Ο όρος "αρμονική" στην ονομασία αρμονική συνάρτηση προέρχεται από την αρμονική κίνηση στην οποία υποβάλλεται ένα σημείο σε μια τεντωμένη [[Χορδή (γεωμετρία)|χορδή]]. Η λύση της διαφορικής εξίσωσης για αυτόν τον τύπο κίνησης μπορεί να εκφραστεί με όρους [[Ημίτονο|ημιτόνων]] και [[Συνημίτονο|συνημιτόνων]], συναρτήσεις δηλαδή που αναφέρονται ως αρμονικές. Η [[ανάλυση Φουριέ]] περιλαμβάνει επεκταμένες [[Περιοδική συνάρτηση|περιοδικές συναρτήσεις]] στο μοναδιαίο κύκλο με όρους μιας σειράς αυτών των αρμονικών συναρτήσεων. Αναλογιζόμενοι υψηλότερης τάξης αναλογίες των αρμονικών στη μοναδιαία n-σφαίρα, έχουμε τις σφαιρικές αρμονικές. Οι συναρτήσεις αυτές ικανοποιούν την [[Εξίσωση Λαπλάς|εξίσωση του ΛαπλαςΛαπλάς]], για αυτό και με την πάροδο του χρόνου, ο όρος "αρμονική" κατέληξε να αναφέρεται σε όλες τις συναρτήσεις που ικανοποιούν την [[εξίσωση Λαπλάς]].

* Το πραγματικό ή το φανταστικό μέρος μιας [[Ολόμορφη συνάρτηση|ολόμορφης συνάρτησης]]

: ορίζεται <math>\mathbb{R}^2 \setminus \lbrace 0 \rbrace</math> (π. χ. το [[ηλεκτρικό δυναμικό]] που οφείλεται σε μια γραμμή, και το δυναμικό βαρύτητας που οφείλεται σε μια μεγάλη κυλινδρική μάζα).

Αρμονικές συναρτήσεις που προκύπτουν στη φυσική προσδιορίζονται από τα ανώμαλα σημεία και τις συνοριακές συνθήκες (όπως οριακώνείναι συνθηκώνοι οριακές συνθήκες Dirichlet ή οι Neumann οριακές συνθήκες). Στις περιοχές χωρίς όρια, προσθέτοντας το πραγματικό ή το φανταστικό μέρος κάθε συνάρτησης παράγειπαράγεται μια αρμονική συνάρτηση με το ίδιο ανώμαλο σημείο,. οπότε σεΣε αυτή την περίπτωση, η αρμονική συνάρτηση δεν καθορίζεται από το ανώμαλο σημείο της, ωστόσο, μπορούμε να κάνουμε τη λύση μοναδική  σε φυσικές καταστάσεις, απαιτώντας ότι η λύση τείνει στο 0, τείνοντας στο άπειρο. Σε αυτή την περίπτωση, ηΗ μοναδικότητα προκύπτει από το θεώρημα του Liouville.

Τα ανώμαλα σημεία των παραπάνω αρμονικών συναρτήσεων εκφράζονται ως "φορτία" και "πυκνότητες φορτίων" χρησιμοποιώντας την ορολογία της [[Ηλεκτροστατική|ηλεκτροστατικής]]. Έτσι η αντίστοιχη αρμονική συνάρτηση θα είναι ανάλογη με το [[Ηλεκτρικό δυναμικό|ηλεκτροστατικό δυναμικό]] λόγω αυτών των κατανομών του φορτίου. Κάθε ανωτέρω συνάρτηση όταν πολλαπλασιαστεί με μια σταθερά, που περιστρέφεται, ή/και μια σταθερά που προστίθεται, θα παράξει μια άλλη αρμονική συνάρτηση. Η [[Αντίστροφη συνάρτηση|αντιστροφή]] κάθε συνάρτησης, θα δώσει άλλη μια αρμονική συνάρτηση η οποία έχει ανώμαλα σημεία της εικόνες των αρχικών ανώμαλων σημείων σε ένα σφαιρικό "καθρέφτη". Ακόμη, το άθροισμα δύο αρμονικών συναρτήσεων θα δώσει άλλη μια αρμονική συνάρτηση.