Ευκλείδεια γεωμετρία: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Το [[Θεώρημα της γέφυρας των γαιδουριών|Θεώρημα της γέφυρας των γαϊδουριών]] (Pons Asinorum) αναφέρει ότι σε ισοσκελή τρίγωνα οι γωνίες της βάσης είναι ίσες μεταξύ τους, και αν οι ίσες ευθείες γραμμές παράγονται περαιτέρω τότε οι γωνίες κάτω από την βάση είναι ίσες.<ref>Ευκλείδης ,Βιβλίο 1 ,πρόταση 5,σελίδα 251</ref>Το όνομά του μπορεί να αποδοθεί στον συχνό ρόλο του ως το πρώτο πραγματικό test στα ''Στοιχεία'' της κατανόησης του αναγνώστη και ως γέφυρα στις πιο δύσκολες προτάσεις που ακολουθούν.Επίσης μπορεί και να ονομάστηκε έτσι λόγω της ομοιότητας των γεωμετρικών σχημάτων με μία απότομη γέφυρα που μόνο ένας αλάνθαστος γάιδαρος θα μπορούσε να διασχίσει.<ref>Heath "Excursis 1" τόμος 1</ref>

Ο Ευκλείδης πίστευε ότι τα [[Αξιώματα της Ευκλείδειας γεωμετρίας|αξιώματά]] του ήταν αυτονόητες καταστάσεις σχετικά με την φυσική πραγματικότητα.Οι αποδείξεις του Ευκλείδη βασίζονταν πάνω σε παραδοχές οι οποίες ίσως να μην ήταν προφανείς στα θεμελιώδη αξιώματα του Ευκλείδη,<ref>Richard J. Trudeau (2008). "Euclid's axioms". [https://books.google.com/books?id=YRB4VBCLB3IC&pg=PA39 ''The Non-Euclidean Revolution'']. Birkhäuser. σελίδα. 39 ''ff''.[[International Standard Book Number|ISBN]] [[Ειδικό:BookSources/0-8176-4782-1|0-8176-4782-1]].</ref> και πιο συγκεκριμένα ότι ορισμένες αριθμητικές κινήσεις δεν αλλάζουν τις γεωμετρικές τους ιδιότητες όπως τα μήκη των πλευρών και οι εσωτερικές γωνίες, οι λεγόμενες ''Ευκλείδειες κινήσεις'', οι οποίες περιλαμβάνουν μεταφράσεις, αντανακλάσεις και περιστροφές στοιχείων.<ref>CRC Press σελίδα 314, Springer σελίδα 60, Dover σελίδα 167</ref> Λαμβάνοντάς τα ως φυσικές περιγραφές του χώρου, το αξίωμα 2(επέκταση γραμμής) ισχυρίζεται ότι ο χώρος δεν έχει οπές ή όρια(με αλλά λόγια , ο χώρος είναι [[ομοιογενής]] και [[απεριόριστος]]), το αξίωμα 4 (ισότητα ορθών γωνιών) λέει ότι ο χώρος είναι [[ισοτροπικός]] και τα στοιχεία μπορούν να μετακινηθούν σε οποιαδήποτε τοποθεσία όσο διατηρούν μία μαθηματική [[Αναλογία (μαθηματικά)|αναλογία]] , και το αξίωμα 5 ([[παράλληλο αξίωμα]]) ότι ο χώρος είναι επίπεδος(δεν έχει καθόλου [[εγγενή καμπυλότητα]]).<ref>Roger Penrose (2007). [https://books.google.com/books?id=coahAAAACAAJ&dq=editions:cYahAAAACAAJ&hl=en&ei=i7DZTI62K46asAObz-jJBw&sa=X&oi=book_result&ct=book-thumbnail&resnum=1&ved=0CCcQ6wEwAA ''The Road to Reality: A Complete Guide to the Laws of the Universe'']. Vintage Books. σελίδα. 29. [[International Standard Book Number|ISBN]] [[Ειδικό:BookSources/0-679-77631-1|0-679-77631-1]].</ref>

[[Αρχείο:Squaring the circle.svg|μικρογραφία|Τετραγωνίζοντας τον κύκλο:Τα εμβαδά αυτού του τετραγώνου και του κύκλου είναι ίσα.Το 1882 αποδείχθηκε ότι αυτό το σχέδιο δεν μπορεί να κατασκευαστεί σε ένα πεπερασμένο αριθμό βημάτων με έναν "ιδανικό" [[Κανόνας (μαθηματικά)|χάρακα]] και [[Διαβήτης (όργανο)|διαβήτη]].|183x183εσ]]Οι μαθηματικοί που ασχολούνταν με την γεωμετρία τον 18ο αιώνα δυσκολεύονταν αρκετά να καθορίσουν τα όρια του Ευκλείδειου συστήματος. Αρκετοί από αυτούς μάταια προσπαθούσαν να αποδείξουν το 5ο αξίωμα χρησιμοποιώντας τα προηγούμενα 4 αξιώματα.Μέχρι το 1763 υπήρχαν τουλάχιστον 28 αποδείξεις οι οποίες είχαν δημοσιευτεί, όμως όλες ήταν λάθος.<ref>Hofstadter 1979 , σελίδα 91</ref>