Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων του «Ευκλείδεια γεωμετρία»

 
=== Pons Asinorum ===
Το [[Θεώρημα της γέφυρας των γαιδουριών|Θεώρημα της γέφυρας των γαϊδουριών]] (Pons Asinorum) αναφέρει ότι σε ισοσκελή τρίγωνα οι γωνίες της βάσης είναι ίσες μεταξύ τους, και αν οι ίσες ευθείες γραμμές παράγονται περαιτέρω τότε οι γωνίες κάτω από την βάση είναι ίσες.<ref>Ευκλείδης ,Βιβλίο 1 ,πρόταση 5,σελίδα 251</ref>Το όνομά του μπορεί να αποδοθεί στον συχνό ρόλο του ως το πρώτο πραγματικό test στα ''Στοιχεία'' της κατανόησης του αναγνώστη και ως γέφυρα στις πιο δύσκολες προτάσεις που ακολουθούν.Επίσης μπορεί και να ονομάστηκε έτσι λόγω της ομοιότητας των γεωμετρικών σχημάτων με μία απότομη γέφυρα που μόνο ένας αλάνθαστος γάιδαρος θα μπορούσε να διασχίσει.<ref>Heath "Excursis 1" τόμος 1</ref>
 
=== Ισότητα Τριγώνων ===
[[Αρχείο:Congruent triangles.svg|μικρογραφία|Δύο τρίγωνα είναι ίσα όταν έχουν όλες τις πλευρές τους ίσες ή αν έχουν δύο πλευρές και την γωνία ανάμεσα τους ίσες ή αν έχουν δύο γωνίες μία πλευρά ίση μεταξύ τους.]]
Τα τρίγωνα είναι ίσα αν έχουν όλες τις πλευρές τους ίσες ή αν έχουν δύο πλευρές και την γωνία ανάμεσα τους ίσες ή αν έχουν δύο γωνίες μία πλευρά ίση μεταξύ τους.(Βιβλίο I , προτάσεις 4 , 8 ,26).Τρίγωνα με τρεις ίσες γωνίες είναι όμοια, αλλά όχι αναγκαστικά ίσα.Επίσης τα τρίγωνα με δύο ίσες πλευρές και μία οποιαδήποτε γωνία δεν είναι απαραίτητα όμοια και ίσα.
 
 
== Ως περιγραφή της δομής του χώρου ==
Ο Ευκλείδης πίστευε ότι τα [[Αξιώματα της Ευκλείδειας γεωμετρίας|αξιώματά]] του ήταν αυτονόητες καταστάσεις σχετικά με την φυσική πραγματικότητα.Οι αποδείξεις του Ευκλείδη βασίζονταν πάνω σε παραδοχές οι οποίες ίσως να μην ήταν προφανείς στα θεμελιώδη αξιώματα του Ευκλείδη,<ref>Richard J. Trudeau (2008). "Euclid's axioms". [https://books.google.com/books?id=YRB4VBCLB3IC&pg=PA39 ''The Non-Euclidean Revolution'']. Birkhäuser. σελίδα. 39 ''ff''.[[International Standard Book Number|ISBN]] [[Ειδικό:BookSources/0-8176-4782-1|0-8176-4782-1]].</ref> και πιο συγκεκριμένα ότι ορισμένες αριθμητικές κινήσεις δεν αλλάζουν τις γεωμετρικές τους ιδιότητες όπως τα μήκη των πλευρών και οι εσωτερικές γωνίες, οι λεγόμενες ''Ευκλείδειες κινήσεις'', οι οποίες περιλαμβάνουν μεταφράσεις, αντανακλάσεις και περιστροφές στοιχείων.<ref>CRC Press σελίδα 314, Springer σελίδα 60, Dover σελίδα 167</ref> Λαμβάνοντάς τα ως φυσικές περιγραφές του χώρου, το αξίωμα 2(επέκταση γραμμής) ισχυρίζεται ότι ο χώρος δεν έχει οπές ή όρια(με αλλά λόγια , ο χώρος είναι [[ομοιογενής]] και [[απεριόριστος]]), το αξίωμα 4 (ισότητα ορθών γωνιών) λέει ότι ο χώρος είναι [[ισοτροπικός]] και τα στοιχεία μπορούν να μετακινηθούν σε οποιαδήποτε τοποθεσία όσο διατηρούν μία μαθηματική [[Αναλογία (μαθηματικά)|αναλογία]] , και το αξίωμα 5 ([[παράλληλο αξίωμα]]) ότι ο χώρος είναι επίπεδος(δεν έχει καθόλου [[εγγενή καμπυλότητα]]).<ref>Roger Penrose (2007). [https://books.google.com/books?id=coahAAAACAAJ&dq=editions:cYahAAAACAAJ&hl=en&ei=i7DZTI62K46asAObz-jJBw&sa=X&oi=book_result&ct=book-thumbnail&resnum=1&ved=0CCcQ6wEwAA ''The Road to Reality: A Complete Guide to the Laws of the Universe'']. Vintage Books. σελίδα. 29. [[International Standard Book Number|ISBN]] [[Ειδικό:BookSources/0-679-77631-1|0-679-77631-1]].</ref>
 
Όπως θα δούμε και παρακάτω, η [[Θεωρία της Σχετικότητας]] του [[Άλμπερτ Αϊνστάιν|Αϊνστάιν]] τροποποιεί σημαντικά αυτή την θεωρία.
 
=== 18ος αιώνας ===
[[Αρχείο:Squaring the circle.svg|μικρογραφία|Τετραγωνίζοντας τον κύκλο:Τα εμβαδά αυτού του τετραγώνου και του κύκλου είναι ίσα.Το 1882 αποδείχθηκε ότι αυτό το σχέδιο δεν μπορεί να κατασκευαστεί σε ένα πεπερασμένο αριθμό βημάτων με έναν "ιδανικό" [[Κανόνας (μαθηματικά)|χάρακα]] και [[Διαβήτης (όργανο)|διαβήτη]].|183x183εσ]]Οι μαθηματικοί που ασχολούνταν με την γεωμετρία τον 18ο αιώνα δυσκολεύονταν αρκετά να καθορίσουν τα όρια του Ευκλείδειου συστήματος. Αρκετοί από αυτούς μάταια προσπαθούσαν να αποδείξουν το 5ο αξίωμα χρησιμοποιώντας τα προηγούμενα 4 αξιώματα.Μέχρι το 1763 υπήρχαν τουλάχιστον 28 αποδείξεις οι οποίες είχαν δημοσιευτεί, όμως όλες ήταν λάθος.<ref>Hofstadter 1979 , σελίδα 91</ref>
 
Κατά την διάρκεια του 18ου αιώνα οι μαθηματικοί προσπάθησαν επίσης να καθορίσουν τι έργα μπορούσαν να επιτευχθούν στην Ευκλείδεια γεωμετρία. Για παράδειγμα το πρόβλημα της [[τριχοτόμησης μιας γωνίας]] ,το οποίο αναφέρεται στην θεωρία, μιας και τα αξιώματα αναφέρονται σε τέτοιες δραστηριότητες οι οποίες μπορούν να υλοποιηθούν με χάρακα και διαβήτη(μέθοδος της λεγόμενης "Κινηματικής Γεωμετρίας"). Ωστόσο και ύστερα από αιώνες αποτυχημένων προσπαθειών για να βρεθεί μια λύση, το 1837 ο [[Pierre Wantzel]] έφερε στην δημοσιότητα την απόδειξη ότι μία τέτοια κατασκευή ήταν αδύνατο να γίνει. Άλλες επίσης κατασκευές που αποδείχθηκε ότι είναι αδύνατο να υλοποιηθούν είναι ο [[διπλασιασμός του κύβου]], ο [[τετραγώνισμος του κύκλου]]. Στην περίπτωση του διπλασιασμού του κύβου αυτό που κάνει αδύνατη την κατασκευή του είναι ότι η μέθοδος της "Κινηματικής Γεωμετρίας" περιλαμβάνει εξισώσεις δεύτερης τάξης<ref>Theorem 120, Elements of Abstract Algebra, Allan Clark, Dover, ISBN 0-486-64725-0</ref> ,ενώ ο διπλασιασμός του κύβου απαιτεί την επίλυση εξισώσεως τρίτης τάξης.
 
=== 19ος αιώνας και μη Ευκλείδεια Γεωμετρία ===
18

επεξεργασίες